不等式 $2ax - 1 \le 4x$ の解が $x \ge -5$ となるとき、定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

不等式 $2ax - 1 \le 4x$ の解が $x \ge -5$ となるとき、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、不等式 $2ax - 1 \le 4x$ を変形して $x$ について解きます。

$2ax - 1 \le 4x$

$2ax - 4x \le 1$

$(2a - 4)x \le 1$

次に、 $2a - 4$ の符号によって場合分けをします。

(i) $2a - 4 > 0$ のとき（すなわち $a > 2$ のとき）

$x \le \frac{1}{2a - 4}$

このとき、不等式の解は $x \le \frac{1}{2a - 4}$ となります。これは与えられた解 $x \ge -5$ とは一致しません。したがって、$2a - 4 > 0$ はありえません。

(ii) $2a - 4 < 0$ のとき（すなわち $a < 2$ のとき）

$x \ge \frac{1}{2a - 4}$

このとき、不等式の解は $x \ge \frac{1}{2a - 4}$ となります。これが与えられた解 $x \ge -5$ と一致するためには、

$\frac{1}{2a - 4} = -5$

である必要があります。

$1 = -5(2a - 4)$

$1 = -10a + 20$

$10a = 19$

$a = \frac{19}{10}$

これは $a < 2$ を満たします。

(iii) $2a - 4 = 0$ のとき（すなわち $a = 2$ のとき）

$(2a - 4)x \le 1$ は $0x \le 1$ となり、これは常に成り立ちます。したがって、この不等式の解はすべての実数となります。これは与えられた解 $x \ge -5$ とは一致しません。

したがって、$a = \frac{19}{10}$ が求める解です。

3. 最終的な答え

$a = \frac{19}{10}$