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与えられた行列 A, B, C, D について、行列の積が定義できる組をすべて挙げ、その積を計算する。 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -5 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 4 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 0 \\ -1 & 7 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 5 \\ -3 & 2 & 1 \\ 5 & 3 & -6 \end{pmatrix}$

代数学行列行列の積線形代数
2025/7/26

1. 問題の内容

与えられた行列 A, B, C, D について、行列の積が定義できる組をすべて挙げ、その積を計算する。
A=(213−501)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -5 & 0 & 1 \end{pmatrix}, B=(514)B = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 4 \end{pmatrix}, C=(4130−17)C = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 0 \\ -1 & 7 \end{pmatrix}, D=(015−32153−6)D = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 5 \\ -3 & 2 & 1 \\ 5 & 3 & -6 \end{pmatrix}

2. 解き方の手順

行列の積が定義できる条件は、前の行列の列数と後ろの行列の行数が一致することです。
各行列のサイズは以下の通りです。
* A: 2 x 3
* B: 1 x 3
* C: 3 x 2
* D: 3 x 3
したがって、積が定義できる組み合わせは以下の通りです。
* A x C: (2 x 3) x (3 x 2) = 2 x 2
* A x D: (2 x 3) x (3 x 3) = 2 x 3
* B x A: (1 x 3) x (2 x 3) = 定義できない
* B x C: (1 x 3) x (3 x 2) = 1 x 2
* B x D: (1 x 3) x (3 x 3) = 1 x 3
* C x A: (3 x 2) x (2 x 3) = 3 x 3
* C x B: (3 x 2) x (1 x 3) = 定義できない
* C x D: (3 x 2) x (3 x 3) = 定義できない
* D x A: (3 x 3) x (2 x 3) = 定義できない
* D x B: (3 x 3) x (1 x 3) = 定義できない
* D x C: (3 x 3) x (3 x 2) = 3 x 2
* D x D: (3 x 3) x (3 x 3) = 3 x 3
計算可能な組とその積は以下の通りです。
* A x C = (213−501)(4130−17)=(8+3−32+0+21−20+0−1−5+0+7)=(823−212)\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -5 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 0 \\ -1 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8+3-3 & 2+0+21 \\ -20+0-1 & -5+0+7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 23 \\ -21 & 2 \end{pmatrix}
* A x D = (213−501)(015−32153−6)=(0−3+152+2+910+1−180+0+5−5+0+3−25+0−6)=(1213−75−2−31)\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -5 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 5 \\ -3 & 2 & 1 \\ 5 & 3 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0-3+15 & 2+2+9 & 10+1-18 \\ 0+0+5 & -5+0+3 & -25+0-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & 13 & -7 \\ 5 & -2 & -31 \end{pmatrix}
* B x C = (514)(4130−17)=(20+3−45+0+28)=(1933)\begin{pmatrix} 5 & 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 0 \\ -1 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20+3-4 & 5+0+28 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 33 \end{pmatrix}
* B x D = (514)(015−32153−6)=(0−3+205+2+1225+1−24)=(17192)\begin{pmatrix} 5 & 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 5 \\ -3 & 2 & 1 \\ 5 & 3 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0-3+20 & 5+2+12 & 25+1-24 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 & 19 & 2 \end{pmatrix}
* C x A = (4130−17)(213−501)=(8−54+012+16+03+09+0−2−35−1+0−3+7)=(3413639−37−14)\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 0 \\ -1 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -5 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8-5 & 4+0 & 12+1 \\ 6+0 & 3+0 & 9+0 \\ -2-35 & -1+0 & -3+7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 13 \\ 6 & 3 & 9 \\ -37 & -1 & 4 \end{pmatrix}
* D x C = (015−32153−6)(4130−17)=(0+3−50+0+35−12+6−1−3+0+720+9+65+0−42)=(−235−7435−37)\begin{pmatrix} 0 & 1 & 5 \\ -3 & 2 & 1 \\ 5 & 3 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 0 \\ -1 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+3-5 & 0+0+35 \\ -12+6-1 & -3+0+7 \\ 20+9+6 & 5+0-42 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 35 \\ -7 & 4 \\ 35 & -37 \end{pmatrix}
* D x D = (015−32153−6)(015−32153−6)=(0−3+250+2+150+1−300−6+5−3+4+3−15+2−60−9−305+6−1825+3+36)=(2217−29−14−19−39−764)\begin{pmatrix} 0 & 1 & 5 \\ -3 & 2 & 1 \\ 5 & 3 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 5 \\ -3 & 2 & 1 \\ 5 & 3 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0-3+25 & 0+2+15 & 0+1-30 \\ 0-6+5 & -3+4+3 & -15+2-6 \\ 0-9-30 & 5+6-18 & 25+3+36 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 22 & 17 & -29 \\ -1 & 4 & -19 \\ -39 & -7 & 64 \end{pmatrix}

3. 最終的な答え

行列の積が定義できる組とその積は以下の通りです。
* A×C=(823−212)A \times C = \begin{pmatrix} 8 & 23 \\ -21 & 2 \end{pmatrix}
* A×D=(1213−75−2−31)A \times D = \begin{pmatrix} 12 & 13 & -7 \\ 5 & -2 & -31 \end{pmatrix}
* B×C=(1933)B \times C = \begin{pmatrix} 19 & 33 \end{pmatrix}
* B×D=(17192)B \times D = \begin{pmatrix} 17 & 19 & 2 \end{pmatrix}
* C×A=(3413639−37−14)C \times A = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 13 \\ 6 & 3 & 9 \\ -37 & -1 & 4 \end{pmatrix}
* D×C=(−235−7435−37)D \times C = \begin{pmatrix} -2 & 35 \\ -7 & 4 \\ 35 & -37 \end{pmatrix}
* D×D=(2217−29−14−19−39−764)D \times D = \begin{pmatrix} 22 & 17 & -29 \\ -1 & 4 & -19 \\ -39 & -7 & 64 \end{pmatrix}

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