与えられた式 $\frac{3x-1}{x(x+1)} - \frac{x}{(x+1)(x-2)}$ を計算して、最も簡単な形で表す問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{3x-1}{x(x+1)} - \frac{x}{(x+1)(x-2)}$ を計算して、最も簡単な形で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、分母を共通化します。共通の分母は $x(x+1)(x-2)$ です。

それぞれの分数を共通の分母に変換します。

$\frac{3x-1}{x(x+1)}$ に $\frac{x-2}{x-2}$ を掛けると、

$\frac{(3x-1)(x-2)}{x(x+1)(x-2)} = \frac{3x^2 - 6x - x + 2}{x(x+1)(x-2)} = \frac{3x^2 - 7x + 2}{x(x+1)(x-2)}$

$\frac{x}{(x+1)(x-2)}$ に $\frac{x}{x}$ を掛けると、

$\frac{x^2}{x(x+1)(x-2)}$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$\frac{3x^2 - 7x + 2}{x(x+1)(x-2)} - \frac{x^2}{x(x+1)(x-2)}$

分子をまとめます。

$\frac{3x^2 - 7x + 2 - x^2}{x(x+1)(x-2)} = \frac{2x^2 - 7x + 2}{x(x+1)(x-2)}$

分子を因数分解してみます。 $2x^2 - 7x + 2$ を因数分解できるか確認します。因数分解できないため、このままにしておきます。

したがって、答えは $\frac{2x^2 - 7x + 2}{x(x+1)(x-2)}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{2x^2 - 7x + 2}{x(x+1)(x-2)}$