与えられた連立一次方程式を、あらかじめ与えられた逆行列を用いて解く問題です。連立一次方程式は以下の通りです。 $ \begin{cases} y + 2z = 1 \\ x + 2y + 3z = 2 \\ -2x - y - z = 3 \end{cases} $ また、行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ -2 & -1 & -1 \end{pmatrix}$ の逆行列が $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -5 & 4 & 2 \\ 3 & -2 & -1 \end{pmatrix}$ であることが与えられています。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を、あらかじめ与えられた逆行列を用いて解く問題です。連立一次方程式は以下の通りです。

$$

\begin{cases}

y + 2z = 1 \\

x + 2y + 3z = 2 \\

-2x - y - z = 3

\end{cases}

$$

また、行列 $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ -2 & -1 & -1 \end{pmatrix}$ の逆行列が $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -5 & 4 & 2 \\ 3 & -2 & -1 \end{pmatrix}$ であることが与えられています。

2. 解き方の手順

まず、与えられた連立一次方程式を行列を用いて表します。

$$

\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ -2 & -1 & -1 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}

$$

ここで、

$$

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ -2 & -1 & -1 \end{pmatrix},

X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix},

B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}

$$

とおくと、方程式は $AX = B$ と表せます。

したがって、$X = A^{-1}B$ となり、

$$

\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -5 & 4 & 2 \\ 3 & -2 & -1 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}

$$

を計算することで、$x, y, z$ を求めることができます。

行列の積を計算すると、

$$

\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

1 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + (-1) \cdot 3 \\

(-5) \cdot 1 + 4 \cdot 2 + 2 \cdot 3 \\

3 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 + (-1) \cdot 3

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

1 - 2 - 3 \\

-5 + 8 + 6 \\

3 - 4 - 3

\end{pmatrix}

=

\begin{pmatrix}

-4 \\

9 \\

-4

\end{pmatrix}

$$

したがって、$x = -4, y = 9, z = -4$ となります。

3. 最終的な答え

$x = -4, y = 9, z = -4$