与えられた集合 $W$ が、ベクトル空間 $\mathbb{R}^3$ の部分空間であるかどうかを調べる問題です。 (1) $W = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 + x_2 - x_3 = 0, 3x_1 + x_2 + 2x_3 = 0 \}$ (2) $W = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \mid 2x_1 - 3x_2 + x_3 \le 1, 3x_1 + x_2 + 2x_3 \le 1 \}$

1. 問題の内容

与えられた集合 $W$ が、ベクトル空間 $\mathbb{R}^3$ の部分空間であるかどうかを調べる問題です。

(1)

$W = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 + x_2 - x_3 = 0, 3x_1 + x_2 + 2x_3 = 0 \}$

(2)

$W = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \mid 2x_1 - 3x_2 + x_3 \le 1, 3x_1 + x_2 + 2x_3 \le 1 \}$

2. 解き方の手順

部分空間であるかどうかを判定するには、以下の3つの条件を満たすかどうかを調べます。

(1) 零ベクトルが含まれているか ($0 \in W$)

(2) スカラー倍で閉じているか ($x \in W \Rightarrow cx \in W$)

(3) 和で閉じているか ($x, y \in W \Rightarrow x+y \in W$)

(1)の場合

(1) 零ベクトルの確認: $\mathbf{x} = (0, 0, 0)$ を代入すると、$0 + 0 - 0 = 0$ かつ $3(0) + 0 + 2(0) = 0$ となり、両方の式を満たすため、零ベクトルは $W$ に含まれます。

(2) スカラー倍の確認: $\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3) \in W$ とすると、$x_1 + x_2 - x_3 = 0$ かつ $3x_1 + x_2 + 2x_3 = 0$ が成り立ちます。任意のスカラー $c$ に対して、$c\mathbf{x} = (cx_1, cx_2, cx_3)$ を考えると、

$cx_1 + cx_2 - cx_3 = c(x_1 + x_2 - x_3) = c(0) = 0$

$3cx_1 + cx_2 + 2cx_3 = c(3x_1 + x_2 + 2x_3) = c(0) = 0$

となり、$c\mathbf{x}$ も $W$ に含まれます。

(3) 和の確認: $\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3) \in W$ と $\mathbf{y} = (y_1, y_2, y_3) \in W$ を考えます。すると、$x_1 + x_2 - x_3 = 0$ かつ $3x_1 + x_2 + 2x_3 = 0$ であり、$y_1 + y_2 - y_3 = 0$ かつ $3y_1 + y_2 + 2y_3 = 0$ です。$\mathbf{x} + \mathbf{y} = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, x_3 + y_3)$ について考えると、

$(x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) - (x_3 + y_3) = (x_1 + x_2 - x_3) + (y_1 + y_2 - y_3) = 0 + 0 = 0$

$3(x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) + 2(x_3 + y_3) = (3x_1 + x_2 + 2x_3) + (3y_1 + y_2 + 2y_3) = 0 + 0 = 0$

となり、$\mathbf{x} + \mathbf{y}$ も $W$ に含まれます。

(2)の場合

(1) 零ベクトルの確認: $\mathbf{x} = (0, 0, 0)$ を代入すると、$2(0) - 3(0) + 0 = 0 \le 1$ かつ $3(0) + 0 + 2(0) = 0 \le 1$ となり、両方の式を満たすため、零ベクトルは $W$ に含まれます。

(2) スカラー倍の確認: $\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3) \in W$ とすると、$2x_1 - 3x_2 + x_3 \le 1$ かつ $3x_1 + x_2 + 2x_3 \le 1$ が成り立ちます。任意のスカラー $c$ について、$c\mathbf{x} = (cx_1, cx_2, cx_3)$ を考えます。ここで$c$が負の数の場合、$2cx_1 - 3cx_2 + cx_3 = c(2x_1 - 3x_2 + x_3)$ および $3cx_1 + cx_2 + 2cx_3 = c(3x_1 + x_2 + 2x_3)$が必ずしも1以下になるとは限りません。例えば、$c=2$の時、$2(2x_1 - 3x_2 + x_3) = 4x_1 - 6x_2 + 2x_3 \le 2$となり、$c\mathbf{x}$も$W$に含まれるとは限りません。

(3) 和の確認: $\mathbf{x} = (x_1, x_2, x_3) \in W$ と $\mathbf{y} = (y_1, y_2, y_3) \in W$ を考えます。すると、$2x_1 - 3x_2 + x_3 \le 1$ かつ $3x_1 + x_2 + 2x_3 \le 1$ であり、$2y_1 - 3y_2 + y_3 \le 1$ かつ $3y_1 + y_2 + 2y_3 \le 1$ です。$\mathbf{x} + \mathbf{y} = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, x_3 + y_3)$ について考えると、

$2(x_1 + y_1) - 3(x_2 + y_2) + (x_3 + y_3) = (2x_1 - 3x_2 + x_3) + (2y_1 - 3y_2 + y_3) \le 1 + 1 = 2$

$3(x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) + 2(x_3 + y_3) = (3x_1 + x_2 + 2x_3) + (3y_1 + y_2 + 2y_3) \le 1 + 1 = 2$

となり、$\mathbf{x} + \mathbf{y}$も $W$ に含まれるとは限りません。例えば$(x_1, x_2, x_3) = (1/3,0,0)$を考えると$2x_1 - 3x_2 + x_3 = 2/3 \le 1$ and $3x_1 + x_2 + 2x_3 = 1 \le 1$. 一方で, $2(2x_1) - 3(0) + (0) = 4x_1 = 4/3 > 1$となるため、部分空間ではありません。

3. 最終的な答え

(1) $W$ は $\mathbb{R}^3$ の部分空間である。

(2) $W$ は $\mathbb{R}^3$ の部分空間ではない。