線形変換 $f$ が $f \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ で与えられているとき、直線 $y=x$ と $y=x+2$ がそれぞれどのような直線に写像されるかを求める問題です。

1. 問題の内容

線形変換 $f$ が

$f \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

で与えられているとき、直線 $y=x$ と $y=x+2$ がそれぞれどのような直線に写像されるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y=x$ 上の任意の点 $(t, t)$ を $f$ で写像した点を $(x', y')$ とします。

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -t + 2t \\ t - 3t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ -2t \end{pmatrix}$

したがって、$x' = t$、$y' = -2t$ です。これから、$t$ を消去すると、$y' = -2x'$ となります。よって、直線 $y=x$ は直線 $y = -2x$ に写像されます。

次に、$y=x+2$ 上の任意の点 $(t, t+2)$ を $f$ で写像した点を $(x', y')$ とします。

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ t+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -t + 2(t+2) \\ t - 3(t+2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t+4 \\ -2t-6 \end{pmatrix}$

したがって、$x' = t+4$、$y' = -2t-6$ です。これから、$t$ を消去します。$t = x'-4$ を $y' = -2t-6$ に代入すると、

$y' = -2(x'-4)-6 = -2x' + 8 - 6 = -2x' + 2$

よって、直線 $y=x+2$ は直線 $y = -2x+2$ に写像されます。

3. 最終的な答え

直線 $y=x$ は直線 $y = -2x$ に写像され、直線 $y=x+2$ は直線 $y = -2x+2$ に写像されます。