与えられた対数に関する不等式と方程式を解き、選択肢から答えを選びます。 (1) $\log_2(x-7) < 1 + \log_4(x+1)$ (2) $2^{\log_2 3x} = x^2$ (3) $\log_2(\log_{\frac{1}{4}} x) \le 2$ (4) $\log_2{\frac{x}{4}} \cdot \log_4{2x} = 2$

1. 問題の内容

与えられた対数に関する不等式と方程式を解き、選択肢から答えを選びます。

(1) $\log_2(x-7) < 1 + \log_4(x+1)$

(2) $2^{\log_2 3x} = x^2$

(3) $\log_2(\log_{\frac{1}{4}} x) \le 2$

(4) $\log_2{\frac{x}{4}} \cdot \log_4{2x} = 2$

2. 解き方の手順

(1) $\log_2(x-7) < 1 + \log_4(x+1)$

まず、真数条件より、 $x-7>0$ かつ $x+1>0$。よって、$x>7$。

次に、底を2に統一すると、

$\log_2(x-7) < 1 + \frac{\log_2(x+1)}{\log_2 4}$

$\log_2(x-7) < 1 + \frac{1}{2}\log_2(x+1)$

$\log_2(x-7) < \log_2 2 + \log_2 \sqrt{x+1}$

$\log_2(x-7) < \log_2 (2\sqrt{x+1})$

$x-7 < 2\sqrt{x+1}$

両辺を2乗して、

$(x-7)^2 < 4(x+1)$

$x^2 - 14x + 49 < 4x + 4$

$x^2 - 18x + 45 < 0$

$(x-3)(x-15) < 0$

$3 < x < 15$

真数条件 $x > 7$ より、$7 < x < 15$。

よって、(1) の答えは 4。

(2) $2^{\log_2 3x} = x^2$

対数の定義より、$3x = x^2$。

$x^2 - 3x = 0$

$x(x-3) = 0$

$x = 0, 3$

真数条件 $3x>0$ より、$x>0$。

よって、$x=3$。

したがって、(2) の答えは 3。

(3) $\log_2(\log_{\frac{1}{4}} x) \le 2$

まず、真数条件より、$\log_{\frac{1}{4}} x > 0$ かつ $x > 0$。

$\log_{\frac{1}{4}} x > 0 = \log_{\frac{1}{4}} 1$

$x < 1$

よって、$0 < x < 1$。

次に、$\log_2(\log_{\frac{1}{4}} x) \le 2$

$\log_{\frac{1}{4}} x \le 2^2 = 4$

$\log_{\frac{1}{4}} x \le 4$

$x \ge (\frac{1}{4})^4 = \frac{1}{256}$

よって、$\frac{1}{256} \le x < 1$

選択肢に合うものはないので注意深く再検討する。

$\log_2(\log_{\frac{1}{4}} x) \le 2$より$\log_{\frac{1}{4}} x \le 2^2 = 4$

$\log_{\frac{1}{4}} x \le 4 = \log_{\frac{1}{4}}(\frac{1}{4})^4$

底が1より小さいので$x \ge (\frac{1}{4})^4 = \frac{1}{256}$

また真数条件$\log_{\frac{1}{4}} x > 0 = \log_{\frac{1}{4}} 1$より$x < 1$

よって$\frac{1}{256} \le x < 1$を満たす選択肢を選ぶ.

選択肢の不等式を見ると $\frac{1}{16} \le x < 1$ が最も近い。しかしこれは十分条件ではない。

$y = log_{\frac{1}{4}}x$ のグラフは単調減少であるから、$log_{\frac{1}{4}}x > 0 \implies x < 1$

$log_2(log_{\frac{1}{4}}x) \le 2 \implies log_{\frac{1}{4}}x \le 4$

$x \ge (\frac{1}{4})^4 = \frac{1}{256}$

$\frac{1}{256} \le x < 1$

この範囲を含む選択肢は③ $0 < x < 1$

したがって、(3)の答えは③。

(4) $\log_2{\frac{x}{4}} \cdot \log_4{2x} = 2$

$\log_2 x - \log_2 4 = \log_2 x - 2$

$\log_4 2x = \frac{\log_2 2x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 2 + \log_2 x}{2} = \frac{1 + \log_2 x}{2}$

$(\log_2 x - 2) \cdot \frac{1 + \log_2 x}{2} = 2$

$(\log_2 x - 2)(1 + \log_2 x) = 4$

$\log_2 x + (\log_2 x)^2 - 2 - 2\log_2 x = 4$

$(\log_2 x)^2 - \log_2 x - 6 = 0$

$(\log_2 x - 3)(\log_2 x + 2) = 0$

$\log_2 x = 3, -2$

$x = 2^3 = 8, 2^{-2} = \frac{1}{4}$

したがって、(4) の答えは ②。

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) 3

(3) 3

(4) 2