方程式 $|x^2 - x - 2| - x + k = 0$ の実数解の個数が3個以上となる $k$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

方程式 $|x^2 - x - 2| - x + k = 0$ の実数解の個数が3個以上となる $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を $|x^2 - x - 2| = x - k$ と変形する。

次に、$y = |x^2 - x - 2|$ のグラフと $y = x - k$ のグラフの交点の個数が3個以上となる $k$ の範囲を考える。

$y = |x^2 - x - 2| = |(x - 2)(x + 1)|$ であるから、 $x^2 - x - 2 = 0$ となるのは $x = 2$ と $x = -1$ のときである。

$y = x^2 - x - 2$ のグラフを考える。頂点の座標は、$x = \frac{1}{2}$ のとき $y = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{9}{4}$ である。

したがって、頂点の座標は $(\frac{1}{2}, -\frac{9}{4})$ である。

$y = |x^2 - x - 2|$ のグラフは、$y = x^2 - x - 2$ のグラフの $y < 0$ の部分を $x$ 軸に関して折り返したものである。したがって、頂点の座標は $(\frac{1}{2}, \frac{9}{4})$ になる。

$y = x - k$ は傾きが1の直線である。この直線が $y = |x^2 - x - 2|$ のグラフと3個以上の交点を持つような $k$ の範囲を考える。

$y = x - k$ が点 $(-1, 0)$ を通るとき、$0 = -1 - k$ より $k = -1$ である。

$y = x - k$ が点 $(2, 0)$ を通るとき、$0 = 2 - k$ より $k = 2$ である。

$y = x - k$ が点 $(\frac{1}{2}, \frac{9}{4})$ を通るとき、$\frac{9}{4} = \frac{1}{2} - k$ より $k = \frac{1}{2} - \frac{9}{4} = \frac{2}{4} - \frac{9}{4} = -\frac{7}{4}$ である。

グラフを描いて考えると、直線 $y = x - k$ が点 $(-1, 0)$ を通る（つまり、$k = -1$）とき、$y = |x^2 - x - 2|$ との交点は、$x = -1$ と $x \approx 3.7$ と $x \approx -0.7$ の3点となる。

直線 $y = x - k$ が点 $(\frac{1}{2}, \frac{9}{4})$ を通る（つまり、$k = -\frac{7}{4}$）とき、$y = |x^2 - x - 2|$ との交点は、$x = \frac{1}{2}$ と $x \approx -1.2$ と $x \approx 3.2$ の3点となる。

$k$ の値が $-1$ より大きくなると交点は2個になる。

$k$ の値が $-\frac{7}{4}$ より小さくなると交点は2個になる。

$k$ の値が $-\frac{7}{4}$ のとき、交点の数は3個である。

$k$ の値が $-1$ のとき、交点の数は3個である。

$k = 2$ のとき、交点の数は2個である。

$y = x - k$ が $y = x^2 - x - 2$ (ただし、$x < -1$ または $x > 2$) と接するときを考える。

$x - k = x^2 - x - 2$ より、$x^2 - 2x + (k - 2) = 0$ である。判別式 $D = (-2)^2 - 4(k - 2) = 4 - 4k + 8 = 12 - 4k$ である。

$D = 0$ となるのは $k = 3$ のときである。このとき、$x = 1$ で、$y = -2$ となるので、$y = |x^2 - x - 2|$ 上に点 $(1, \frac{9}{4})$ があることになり、$y = x - k$ との交点の数は3個となる。

したがって、実数解の個数が3個以上となる $k$ の範囲は $-\frac{7}{4} \le k \le -1$ である。

3. 最終的な答え

$-\frac{7}{4} \le k \le -1$