放物線 $G: y = x^2 + ax + b$ が点 $(0, 2)$ と $(1, 1)$ を通る。 (1) $a, b$ の値をそれぞれ求め、放物線 $G$ の頂点の座標を求める。 (2) (i) 放物線 $G$ を $y$ 軸に関して対称移動した放物線を $C_1$ とし、その方程式を求める。 (ii) 放物線 $G$ を $x$ 軸に関して対称移動した放物線を $C_2$ とし、その方程式を求める。 (3) 3つの放物線 $G, C_1, C_2$ の頂点をそれぞれ $A, B, C$ とし、放物線 $G$ を平行移動した放物線のうち、頂点が線分 $BC$ 上（両端を除く）にある放物線を $H$ とする。 さらに、$H$ は点 $(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ を通り、線分 $AC$（両端を除く）と点 $P$ で交わり、線分 $AB$（両端を除く）と点 $Q$ で交わる。このとき、$P, Q$ の座標をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

放物線 $G: y = x^2 + ax + b$ が点 $(0, 2)$ と $(1, 1)$ を通る。

(1) $a, b$ の値をそれぞれ求め、放物線 $G$ の頂点の座標を求める。

(2) (i) 放物線 $G$ を $y$ 軸に関して対称移動した放物線を $C_1$ とし、その方程式を求める。

(ii) 放物線 $G$ を $x$ 軸に関して対称移動した放物線を $C_2$ とし、その方程式を求める。

(3) 3つの放物線 $G, C_1, C_2$ の頂点をそれぞれ $A, B, C$ とし、放物線 $G$ を平行移動した放物線のうち、頂点が線分 $BC$ 上（両端を除く）にある放物線を $H$ とする。

さらに、$H$ は点 $(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ を通り、線分 $AC$（両端を除く）と点 $P$ で交わり、線分 $AB$（両端を除く）と点 $Q$ で交わる。このとき、$P, Q$ の座標をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1)

点 $(0, 2)$ を通るので、

$2 = 0^2 + a(0) + b$

$b = 2$

点 $(1, 1)$ を通るので、

$1 = 1^2 + a(1) + 2$

$1 = 1 + a + 2$

$a = -2$

したがって、$G: y = x^2 - 2x + 2$

$y = x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 + 1$

頂点の座標は $(1, 1)$

(2) (i)

$y$ 軸に関して対称移動するので、$x$ を $-x$ に置き換える。

$C_1: y = (-x)^2 - 2(-x) + 2 = x^2 + 2x + 2$

(ii)

$x$ 軸に関して対称移動するので、$y$ を $-y$ に置き換える。

$-y = x^2 - 2x + 2$

$C_2: y = -x^2 + 2x - 2$

(3)

$A(1, 1)$, $C_1: y = x^2 + 2x + 2 = (x + 1)^2 + 1$ より $B(-1, 1)$, $C_2: y = -x^2 + 2x - 2 = -(x-1)^2 - 1$ より $C(1, -1)$

線分 $BC$ の方程式は、

$\frac{y - 1}{x + 1} = \frac{-1 - 1}{1 + 1}$

$\frac{y - 1}{x + 1} = \frac{-2}{2} = -1$

$y - 1 = -x - 1$

$y = -x$

$H$ の頂点を $(t, -t)$ とすると、$H$ の方程式は $y = (x - t)^2 - t$

$H$ は $(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ を通るので、

$\frac{1}{3} = (-\frac{1}{3} - t)^2 - t$

$\frac{1}{3} = \frac{1}{9} + \frac{2}{3}t + t^2 - t$

$0 = t^2 - \frac{1}{3}t - \frac{2}{9}$

$0 = 9t^2 - 3t - 2 = (3t + 1)(3t - 2)$

$t = -\frac{1}{3}$ または $t = \frac{2}{3}$

$t = -\frac{1}{3}$ は $B$ であり、条件より除く。

$t = \frac{2}{3}$

$H: y = (x - \frac{2}{3})^2 - \frac{2}{3} = x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} - \frac{6}{9} = x^2 - \frac{4}{3}x - \frac{2}{9}$

線分 $AC$ は $A(1, 1), C(1, -1)$ より $x = 1$

$x = 1$ を $H$ に代入すると、$y = 1 - \frac{4}{3} - \frac{2}{9} = \frac{9 - 12 - 2}{9} = -\frac{5}{9}$

$P(1, -\frac{5}{9})$

線分 $AB$ は $A(1, 1), B(-1, 1)$ より $y = 1$

$y = 1$ を $H$ に代入すると、$1 = x^2 - \frac{4}{3}x - \frac{2}{9}$

$0 = x^2 - \frac{4}{3}x - \frac{11}{9}$

$0 = 9x^2 - 12x - 11$

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 396}}{18} = \frac{12 \pm \sqrt{540}}{18} = \frac{12 \pm 6\sqrt{15}}{18} = \frac{2 \pm \sqrt{15}}{3}$

$x = \frac{2 + \sqrt{15}}{3}$ または $x = \frac{2 - \sqrt{15}}{3}$

$A$ の $x$ 座標は $1$ なので、$\frac{2 + \sqrt{15}}{3} > 1$ より不適。

$x = \frac{2 - \sqrt{15}}{3}$

$Q(\frac{2 - \sqrt{15}}{3}, 1)$

3. 最終的な答え

(1) $a = -2, b = 2$, 頂点の座標は $(1, 1)$

(2) (i) $C_1: y = x^2 + 2x + 2$ (ii) $C_2: y = -x^2 + 2x - 2$

(3) $P(1, -\frac{5}{9}), Q(\frac{2 - \sqrt{15}}{3}, 1)$