$\log_{10}2 = 0.3010$ および $\log_{10}3 = 0.4771$ であるとき、以下の問題を解く。 (1) $18^{18}$ は何桁の数か。 (2) $18^{18}$ の最高位の数字は何か。 (3) $18^{18}$ の末尾の数字は何か。

1. 問題の内容

$\log_{10}2 = 0.3010$ および $\log_{10}3 = 0.4771$ であるとき、以下の問題を解く。

(1) $18^{18}$ は何桁の数か。

(2) $18^{18}$ の最高位の数字は何か。

(3) $18^{18}$ の末尾の数字は何か。

2. 解き方の手順

(1) $18^{18}$ の桁数を求める。

$\log_{10}(18^{18})$ を計算する。

$\log_{10}(18^{18}) = 18 \log_{10}(18) = 18 \log_{10}(2 \cdot 3^2) = 18 (\log_{10}2 + 2\log_{10}3) = 18(0.3010 + 2(0.4771)) = 18(0.3010 + 0.9542) = 18(1.2552) = 22.5936$

$18^{18}$ の桁数は $\lfloor 22.5936 \rfloor + 1 = 22+1=23$ 桁。

(2) $18^{18}$ の最高位の数字を求める。

$\log_{10}(18^{18})$ の小数部分は $0.5936$ である。

$10^{0.5936}$ を計算する。

$\log_{10}3 = 0.4771 < 0.5936 < 0.6020 = \log_{10}4$ であるから、

$3 < 10^{0.5936} < 4$ となる。

$10^{0.5936}$ は3と4の間にある。より詳しく見ていく。

$10^{0.5936}$ は3に近いか4に近いかを見る。

$0.5936-0.4771=0.1165$

$0.6020-0.5936=0.0084$

$10^{0.5936} \approx 3.9224...$

よって、最高位の数字は 3。

(3) $18^{18}$ の末尾の数字を求める。

$18^1$ の末尾は 8

$18^2$ の末尾は $8 \cdot 8 = 64$ より 4

$18^3$ の末尾は $4 \cdot 8 = 32$ より 2

$18^4$ の末尾は $2 \cdot 8 = 16$ より 6

$18^5$ の末尾は $6 \cdot 8 = 48$ より 8

末尾の数字は8, 4, 2, 6, 8, 4, 2, 6,... と繰り返す。

周期は4である。

$18 \div 4 = 4$ あまり 2

したがって $18^{18}$ の末尾の数字は $18^2$ の末尾の数字と同じで 4 である。

3. 最終的な答え

(1) 23桁

(2) 3

(3) 4