$x$ の2次方程式 $mx^2 - 4mx - 2m + 4 = 0$ が重解をもつような定数 $m$ の値と、そのときの解を求めよ。ただし、$m \neq 0$ とする。

1. 問題の内容

$x$ の2次方程式 $mx^2 - 4mx - 2m + 4 = 0$ が重解をもつような定数 $m$ の値と、そのときの解を求めよ。ただし、$m \neq 0$ とする。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が重解を持つ条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac = 0$ となることです。

与えられた2次方程式 $mx^2 - 4mx - 2m + 4 = 0$ について、

$a = m$, $b = -4m$, $c = -2m + 4$ です。

したがって、判別式 $D$ は

$D = (-4m)^2 - 4(m)(-2m + 4) = 16m^2 - 4m(-2m + 4) = 16m^2 + 8m^2 - 16m = 24m^2 - 16m$

$D = 0$ となるので、

$24m^2 - 16m = 0$

$8m(3m - 2) = 0$

$m = 0$ または $m = \frac{2}{3}$

ただし、$m \neq 0$ より、$m = \frac{2}{3}$

$m = \frac{2}{3}$ のとき、2次方程式は

$\frac{2}{3}x^2 - 4(\frac{2}{3})x - 2(\frac{2}{3}) + 4 = 0$

$\frac{2}{3}x^2 - \frac{8}{3}x - \frac{4}{3} + 4 = 0$

$\frac{2}{3}x^2 - \frac{8}{3}x + \frac{8}{3} = 0$

両辺に$\frac{3}{2}$ をかけて、

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x - 2)^2 = 0$

$x = 2$

3. 最終的な答え

$m = \frac{2}{3}$ のとき、$x = 2$