$x$ の2次方程式 $2x^2 - 8x + 3k + 2 = 0$ が実数解をもたないような定数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$x$ の2次方程式 $2x^2 - 8x + 3k + 2 = 0$ が実数解をもたないような定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が実数解をもたない条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac$ が $D < 0$ となることである。

与えられた2次方程式 $2x^2 - 8x + 3k + 2 = 0$ において、$a = 2$, $b = -8$, $c = 3k + 2$ である。

判別式 $D$ は、

$$D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (3k + 2) = 64 - 8(3k + 2) = 64 - 24k - 16 = 48 - 24k$$

実数解をもたない条件は $D < 0$ なので、

$$48 - 24k < 0$$

$$24k > 48$$

$$k > \frac{48}{24}$$

$$k > 2$$

3. 最終的な答え

$k > 2$