1以上100以下の自然数のうち、7で割ったとき余りが6となる数の和を求めよ。

1. 問題の内容

1以上100以下の自然数のうち、7で割ったとき余りが6となる数の和を求めよ。

2. 解き方の手順

7で割ると余りが6となる自然数は、$7k+6$ (kは整数) と表すことができます。

まず、$1 \le 7k+6 \le 100$ を満たす整数 $k$ を求めます。

$1 \le 7k+6 \le 100$

$-5 \le 7k \le 94$

$-\frac{5}{7} \le k \le \frac{94}{7}$

$-\frac{5}{7} \le k \le 13.42...$

したがって、$k$ は $0, 1, 2, ..., 13$ のいずれかの整数になります。

これらの $k$ に対する $7k+6$ を求めます。

$k=0$ のとき、$7(0)+6 = 6$

$k=1$ のとき、$7(1)+6 = 13$

$k=2$ のとき、$7(2)+6 = 20$

...

$k=13$ のとき、$7(13)+6 = 91+6 = 97$

これは初項が6、公差が7の等差数列です。項数は $13-0+1=14$ です。

等差数列の和の公式は、$S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ です。

ここで、$n=14$, $a_1 = 6$, $a_{14} = 97$ です。

$S = \frac{14}{2}(6 + 97) = 7(103) = 721$

3. 最終的な答え

721