画像にある数学の問題を解きます。具体的には、以下の問題です。 * 1.(1) $\sqrt{5} < x < 3\sqrt{6}$ にあてはまる自然数 $x$ の個数を求める。 * 1.(2) 4つの数 $\frac{2}{3}$, $-\frac{2}{\sqrt{3}}$, $\frac{\sqrt{2}}{3}$, $\sqrt{\frac{2}{3}}$ を小さい順に並べる。 * 1.(3) $\sqrt{3} = 1.732$ として、$\sqrt{0.75}$ の値を求める。 * 2.(1) $\frac{\sqrt{168m}}{3}$ が整数となるような自然数 $m$ のうち、最小の値を求める。 * 2.(2) $\sqrt{39-3a}$ が自然数となるような自然数 $a$ の値をすべて求める。 * 2.(3) $\sqrt{84a}$ を整数にする自然数 $a$ の値を小さい方から3つ求める。 * 3.(1) $\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{12}}$ の分母を有理化する。 * 3.(2) $\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$ の分母を有理化する。 * 4.(1) $\sqrt{15} \times \sqrt{80}$ を計算する。 * 4.(2) $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{2}} \times \sqrt{12}$ を計算する。 * 4.(3) $\sqrt{15} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ を計算する。 * 4.(4) $\sqrt{8} \times 2\sqrt{14} \times \sqrt{7}$ を計算する。 * 4.(5) $\sqrt{52} \times \sqrt{18} \div \sqrt{39}$ を計算する。 * 4.(6) $\sqrt{27} \div 2\sqrt{45} \times \sqrt{32}$ を計算する。 * 4.(7) $\sqrt{60} \div \sqrt{28} \div \sqrt{15}$ を計算する。 * 4.(8) $\sqrt{135} \div \sqrt{5} \times \sqrt{\frac{98}{3}}$ を計算する。 * 4.(9) $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{15}} \div \frac{\sqrt{35}}{5} \times \sqrt{\frac{14}{4}}$ を計算する。

## 問題の回答

1. 問題の内容

画像にある数学の問題を解きます。具体的には、以下の問題です。

* 1.(1) $\sqrt{5} < x < 3\sqrt{6}$ にあてはまる自然数 $x$ の個数を求める。

* 1.(2) 4つの数 $\frac{2}{3}$, $-\frac{2}{\sqrt{3}}$, $\frac{\sqrt{2}}{3}$, $\sqrt{\frac{2}{3}}$ を小さい順に並べる。

* 1.(3) $\sqrt{3} = 1.732$ として、$\sqrt{0.75}$ の値を求める。

* 2.(1) $\frac{\sqrt{168m}}{3}$ が整数となるような自然数 $m$ のうち、最小の値を求める。

* 2.(2) $\sqrt{39-3a}$ が自然数となるような自然数 $a$ の値をすべて求める。

* 2.(3) $\sqrt{84a}$ を整数にする自然数 $a$ の値を小さい方から3つ求める。

* 3.(1) $\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{12}}$ の分母を有理化する。

* 3.(2) $\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$ の分母を有理化する。

* 4.(1) $\sqrt{15} \times \sqrt{80}$ を計算する。

* 4.(2) $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{2}} \times \sqrt{12}$ を計算する。

* 4.(3) $\sqrt{15} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ を計算する。

* 4.(4) $\sqrt{8} \times 2\sqrt{14} \times \sqrt{7}$ を計算する。

* 4.(5) $\sqrt{52} \times \sqrt{18} \div \sqrt{39}$ を計算する。

* 4.(6) $\sqrt{27} \div 2\sqrt{45} \times \sqrt{32}$ を計算する。

* 4.(7) $\sqrt{60} \div \sqrt{28} \div \sqrt{15}$ を計算する。

* 4.(8) $\sqrt{135} \div \sqrt{5} \times \sqrt{\frac{98}{3}}$ を計算する。

* 4.(9) $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{15}} \div \frac{\sqrt{35}}{5} \times \sqrt{\frac{14}{4}}$ を計算する。

2. 解き方の手順

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1. (1)**

$\sqrt{5} < x < 3\sqrt{6}$ について考えます。

まず、$3\sqrt{6}$ を変形すると、$\sqrt{9 \times 6} = \sqrt{54}$ となります。

したがって、$\sqrt{5} < x < \sqrt{54}$ を満たす自然数 $x$ の個数を求めます。

$\sqrt{5} \approx 2.236$ なので、$x$ は 3 から 7 までの整数となります。$\sqrt{54} \approx 7.348$ なので、$x$ は 3 から 7 までの整数となります。

$x$ の個数は、$3, 4, 5, 6, 7$ の5個です。

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1. (2)**

4つの数 $\frac{2}{3}$, $-\frac{2}{\sqrt{3}}$, $\frac{\sqrt{2}}{3}$, $\sqrt{\frac{2}{3}}$ を小さい順に並べます。

まず、$-\frac{2}{\sqrt{3}}$ は負の数なので、最も小さいです。

次に、他の3つの数を比較します。

$\frac{2}{3} \approx 0.667$

$\frac{\sqrt{2}}{3} \approx \frac{1.414}{3} \approx 0.471$

$\sqrt{\frac{2}{3}} \approx \sqrt{0.667} \approx 0.816$

したがって、小さい順に $-\frac{2}{\sqrt{3}}$, $\frac{\sqrt{2}}{3}$, $\frac{2}{3}$, $\sqrt{\frac{2}{3}}$ となります。

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1. (3)**

$\sqrt{3} = 1.732$ として、$\sqrt{0.75}$ の値を求めます。

$\sqrt{0.75} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sqrt{3} = 1.732$ を代入すると、

$\frac{1.732}{2} = 0.866$

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2. (1)**

$\frac{\sqrt{168m}}{3}$ が整数となるような自然数 $m$ のうち、最小の値を求めます。

$\frac{\sqrt{168m}}{3} = \frac{\sqrt{4 \times 42m}}{3} = \frac{2\sqrt{42m}}{3}$

$\sqrt{42m}$ が 3 の倍数になるように $m$ を選びます。$42 = 2 \times 3 \times 7$ なので、$m = 42 \times k^2$ の形であればよいです。

そうすると、$\sqrt{42 m}=\sqrt{42\times42 k^2} = 42k$

なので、$\frac{\sqrt{168m}}{3}=\frac{2 \times 42k}{3}=28k$となり、整数になる。

最小の $m$ を求めるには $k=1$ とすれば良く、$m = 42$ が答えになります。

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2. (2)**

$\sqrt{39-3a}$ が自然数となるような自然数 $a$ の値をすべて求めます。

$\sqrt{39-3a}$ が自然数となるためには、$39-3a$ が0以上の平方数である必要があります。

$39 - 3a \ge 0$ より、$3a \le 39$, したがって $a \le 13$

$39 - 3a$ は $3$ で割り切れるはずなので、$39-3a = 3(13-a)$が平方数になるためには、$13-a$は3倍すると平方数になる必要がある。

また$39 - 3a = k^2$ とすると、$3a = 39 - k^2$

$k=0$ のとき、$39-3a = 0$ より $a = 13$

$k=1$ のとき、$39-3a = 1$ より $3a = 38$ (不適)

$k=2$ のとき、$39-3a = 4$ より $3a = 35$ (不適)

$k=3$ のとき、$39-3a = 9$ より $3a = 30$ より $a = 10$

$k=4$ のとき、$39-3a = 16$ より $3a = 23$ (不適)

$k=5$ のとき、$39-3a = 25$ より $3a = 14$ (不適)

$k=6$ のとき、$39-3a = 36$ より $3a = 3$ より $a = 1$

したがって、$a = 1, 10, 13$

**

2. (3)**

$\sqrt{84a}$ を整数にする自然数 $a$ の値を小さい方から3つ求めます。

$\sqrt{84a} = \sqrt{4 \times 21a} = 2\sqrt{21a}$

$21 = 3 \times 7$ なので、$a = 21k^2$ であれば $\sqrt{84a}$ は整数になります。

$k=1$ のとき、$a = 21$

$k=2$ のとき、$a = 21 \times 4 = 84$

$k=3$ のとき、$a = 21 \times 9 = 189$

したがって、$a = 21, 84, 189$

**

3. (1)**

$\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{12}}$ の分母を有理化します。

$\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{12}} = \frac{3\sqrt{5}}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{5} \times \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{15}}{2 \times 3} = \frac{\sqrt{15}}{2}$

**

3. (2)**

$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$ の分母を有理化します。

$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{10}+\sqrt{2})\sqrt{6}}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{60}+\sqrt{12}}{6} = \frac{2\sqrt{15}+2\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}}{3}$

**

4. (1)**

$\sqrt{15} \times \sqrt{80}$ を計算します。

$\sqrt{15} \times \sqrt{80} = \sqrt{15 \times 80} = \sqrt{1200} = \sqrt{400 \times 3} = 20\sqrt{3}$

**

4. (2)**

$\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{2}} \times \sqrt{12}$ を計算します。

$\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{2}} \times \sqrt{12} = \frac{\sqrt{75 \times 12}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{900}}{\sqrt{2}} = \frac{30}{\sqrt{2}} = \frac{30\sqrt{2}}{2} = 15\sqrt{2}$

**

4. (3)**

$\sqrt{15} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ を計算します。

$\sqrt{15} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \sqrt{15} + \frac{\sqrt{3}\sqrt{5}}{5} = \sqrt{15} + \frac{\sqrt{15}}{5} = \frac{5\sqrt{15} + \sqrt{15}}{5} = \frac{6\sqrt{15}}{5}$

**

4. (4)**

$\sqrt{8} \times 2\sqrt{14} \times \sqrt{7}$ を計算します。

$\sqrt{8} \times 2\sqrt{14} \times \sqrt{7} = 2\sqrt{8 \times 14 \times 7} = 2\sqrt{8 \times 98} = 2\sqrt{784} = 2 \times 28 = 56$

**

4. (5)**

$\sqrt{52} \times \sqrt{18} \div \sqrt{39}$ を計算します。

$\sqrt{52} \times \sqrt{18} \div \sqrt{39} = \frac{\sqrt{52 \times 18}}{\sqrt{39}} = \frac{\sqrt{4 \times 13 \times 9 \times 2}}{\sqrt{3 \times 13}} = \frac{\sqrt{4 \times 9 \times 2 \times 13}}{\sqrt{3 \times 13}} = \frac{6\sqrt{2 \times 13}}{\sqrt{3 \times 13}} = 6\sqrt{\frac{2}{3}} = 6\frac{\sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6}$

**

4. (6)**

$\sqrt{27} \div 2\sqrt{45} \times \sqrt{32}$ を計算します。

$\sqrt{27} \div 2\sqrt{45} \times \sqrt{32} = \frac{\sqrt{27} \times \sqrt{32}}{2\sqrt{45}} = \frac{\sqrt{3^3} \times \sqrt{2^5}}{2\sqrt{3^2 \times 5}} = \frac{3\sqrt{3} \times 4\sqrt{2}}{2 \times 3\sqrt{5}} = \frac{12\sqrt{6}}{6\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{30}}{5}$

**

4. (7)**

$\sqrt{60} \div \sqrt{28} \div \sqrt{15}$ を計算します。

$\sqrt{60} \div \sqrt{28} \div \sqrt{15} = \frac{\sqrt{60}}{\sqrt{28}\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{4 \times 15}}{\sqrt{28}\sqrt{15}} = \frac{2\sqrt{15}}{\sqrt{28}\sqrt{15}} = \frac{2}{\sqrt{28}} = \frac{2}{2\sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{7}$

**

4. (8)**

$\sqrt{135} \div \sqrt{5} \times \sqrt{\frac{98}{3}}$ を計算します。

$\sqrt{135} \div \sqrt{5} \times \sqrt{\frac{98}{3}} = \frac{\sqrt{135}}{\sqrt{5}} \times \sqrt{\frac{98}{3}} = \sqrt{\frac{135}{5}} \times \sqrt{\frac{98}{3}} = \sqrt{27} \times \sqrt{\frac{98}{3}} = \sqrt{27 \times \frac{98}{3}} = \sqrt{9 \times 98} = \sqrt{9 \times 49 \times 2} = 3 \times 7 \sqrt{2} = 21\sqrt{2}$

**

4. (9)**

$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{15}} \div \frac{\sqrt{35}}{5} \times \sqrt{\frac{14}{4}}$ を計算します。

$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{15}} \div \frac{\sqrt{35}}{5} \times \sqrt{\frac{14}{4}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{15}} \times \frac{5}{\sqrt{35}} \times \frac{\sqrt{14}}{2} = \frac{10\sqrt{3}\sqrt{14}}{2\sqrt{15}\sqrt{35}} = \frac{5\sqrt{42}}{\sqrt{525}} = \frac{5\sqrt{42}}{\sqrt{25 \times 21}} = \frac{5\sqrt{42}}{5\sqrt{21}} = \sqrt{\frac{42}{21}} = \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

* 1.(1) 5

* 1.(2) $-\frac{2}{\sqrt{3}}$, $\frac{\sqrt{2}}{3}$, $\frac{2}{3}$, $\sqrt{\frac{2}{3}}$

* 1.(3) 0.866

* 2.(1) 42

* 2.(2) 1, 10, 13

* 2.(3) 21, 84, 189

* 3.(1) $\frac{\sqrt{15}}{2}$

* 3.(2) $\frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}}{3}$

* 4.(1) $20\sqrt{3}$

* 4.(2) $15\sqrt{2}$

* 4.(3) $\frac{6\sqrt{15}}{5}$

* 4.(4) 56

* 4.(5) $2\sqrt{6}$

* 4.(6) $\frac{2\sqrt{30}}{5}$

* 4.(7) $\frac{\sqrt{7}}{7}$

* 4.(8) $21\sqrt{2}$

* 4.(9) $\sqrt{2}$