$\sqrt{225-n}$ の値が整数となるような自然数 $n$ の個数を求めよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{225-n}$ の値が整数となるような自然数 $n$ の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{225-n}$ が整数となるためには、$225-n$ が0以上の整数の平方数でなければならない。すなわち、$225-n = k^2$ (kは0以上の整数)となる必要がある。

$n$ は自然数であるから、$225-n < 225$ でなければならない。

$225 = 15^2$ であるから、$k$ は $0 \le k \le 14$ の整数である。

$n = 225 - k^2$ であるから、$n$ が自然数であるためには、$225 - k^2 > 0$ でなければならない。$k$ は整数であるから、これは常に満たされる。

$k = 0$ のとき $n = 225 - 0^2 = 225$

$k = 1$ のとき $n = 225 - 1^2 = 224$

$k = 2$ のとき $n = 225 - 2^2 = 221$

...

$k = 14$ のとき $n = 225 - 14^2 = 225 - 196 = 29$

$k = 15$ のとき $n = 225 - 15^2 = 0$

したがって、$k = 0, 1, 2, ..., 14$ のそれぞれに対して、$n$ は自然数となる。よって、そのような $n$ の個数は15個である。

3. 最終的な答え

15個