問題32は、与えられた分数を循環小数で表す問題です。問題33は、与えられた循環小数を分数で表す問題です。具体的には以下の通りです。 問題32 (1) $\frac{1}{3}$ (2) $\frac{16}{9}$ (3) $\frac{7}{11}$ (4) $\frac{91}{55}$ (5) $\frac{41}{37}$ 問題33 (1) $0.\dot{5}$ (2) $0.\dot{1}\dot{9}$ (3) $0.\dot{2}\dot{7}$

1. 問題の内容

問題32は、与えられた分数を循環小数で表す問題です。問題33は、与えられた循環小数を分数で表す問題です。具体的には以下の通りです。

問題32

(1) $\frac{1}{3}$

(2) $\frac{16}{9}$

(3) $\frac{7}{11}$

(4) $\frac{91}{55}$

(5) $\frac{41}{37}$

問題33

(1) $0.\dot{5}$

(2) $0.\dot{1}\dot{9}$

(3) $0.\dot{2}\dot{7}$

2. 解き方の手順

問題32

分数を循環小数で表すには、分子を分母で割ります。割り算を実行して、循環する部分を見つけます。

(1) $\frac{1}{3} = 0.333... = 0.\dot{3}$

(2) $\frac{16}{9} = 1.777... = 1.\dot{7}$

(3) $\frac{7}{11} = 0.636363... = 0.\dot{6}\dot{3}$

(4) $\frac{91}{55} = 1.6545454... = 1.6\dot{5}\dot{4}$

(5) $\frac{41}{37} = 1.108108108... = 1.\dot{108}$

問題33

循環小数を分数で表すには、循環節の桁数に応じて、循環小数を10の累乗倍したものを考え、元の循環小数との差を取ることで、循環部分を消去します。

(1) $x = 0.\dot{5}$とすると、$10x = 5.\dot{5}$。

$10x - x = 5.\dot{5} - 0.\dot{5}$

$9x = 5$

$x = \frac{5}{9}$

(2) $x = 0.\dot{1}\dot{9}$とすると、$100x = 19.\dot{1}\dot{9}$。

$100x - x = 19.\dot{1}\dot{9} - 0.\dot{1}\dot{9}$

$99x = 19$

$x = \frac{19}{99}$

(3) $x = 0.\dot{2}\dot{7}$とすると、$100x = 27.\dot{2}\dot{7}$。

$100x - x = 27.\dot{2}\dot{7} - 0.\dot{2}\dot{7}$

$99x = 27$

$x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$

3. 最終的な答え

問題32

(1) $0.\dot{3}$

(2) $1.\dot{7}$

(3) $0.\dot{6}\dot{3}$

(4) $1.6\dot{5}\dot{4}$

(5) $1.\dot{108}$

問題33

(1) $\frac{5}{9}$

(2) $\frac{19}{99}$

(3) $\frac{3}{11}$