(1) $\frac{\sqrt{168m}}{3}$ が整数となるような自然数 $m$ のうち、最小の値を求める。 (2) $\sqrt{39-3a}$ が自然数となるような自然数 $a$ の値をすべて求める。 (3) $\sqrt{84a}$ を整数にする自然数 $a$ の値を小さい方から3つ求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) $\frac{\sqrt{168m}}{3}$ が整数となるような自然数 $m$ のうち、最小の値を求める。

(2) $\sqrt{39-3a}$ が自然数となるような自然数 $a$ の値をすべて求める。

(3) $\sqrt{84a}$ を整数にする自然数 $a$ の値を小さい方から3つ求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{\sqrt{168m}}{3}$ が整数となるためには、$\sqrt{168m}$ が3の倍数となる必要がある。

まず、168を素因数分解すると、$168 = 2^3 \times 3 \times 7$となる。

したがって、$\sqrt{168m} = \sqrt{2^3 \times 3 \times 7 \times m}$となる。

$\sqrt{168m}$ を整数にするためには、$m$ は少なくとも $2 \times 7 = 14$ を含まなければならない。

このとき、$\sqrt{168m} = \sqrt{2^3 \times 3 \times 7 \times (2 \times 7)} = \sqrt{2^4 \times 3 \times 7^2} = 2^2 \times 7 \times \sqrt{3} = 28\sqrt{3}$ となる。

$\frac{\sqrt{168m}}{3}$を整数にするためには、$\sqrt{168m}$ が3の倍数である必要があるので、$m$はさらに3の倍数である必要がある。

したがって、$m = 14 \times 3 = 42$となる。

このとき、$\sqrt{168m} = \sqrt{2^3 \times 3 \times 7 \times (2 \times 3 \times 7)} = \sqrt{2^4 \times 3^2 \times 7^2} = 2^2 \times 3 \times 7 = 84$となる。

$\frac{\sqrt{168m}}{3} = \frac{84}{3} = 28$ となり、整数となる。

したがって、$m$ の最小値は 42 である。

(2)

$\sqrt{39-3a}$ が自然数となるためには、$39-3a$ が0以上の整数の二乗でなければならない。

$39-3a = k^2$ （$k$ は自然数）とすると、$3a = 39-k^2$ となる。

$a = \frac{39-k^2}{3} = 13 - \frac{k^2}{3}$ となる。

$a$ は自然数なので、$39-3a > 0$ より $3a < 39$ すなわち $a < 13$ である。

$k^2$ は3の倍数でなければならないので、$k$ も3の倍数でなければならない。

$k=0,3,6$ となる。

$k=0$ のとき、$a = \frac{39-0}{3} = 13$

$k=3$ のとき、$a = \frac{39-9}{3} = \frac{30}{3} = 10$

$k=6$ のとき、$a = \frac{39-36}{3} = \frac{3}{3} = 1$

したがって、$a$ の値は 1, 10, 13 である。

(3)

$\sqrt{84a}$ を整数にするためには、$84a$ が整数の二乗でなければならない。

$84$ を素因数分解すると、$84 = 2^2 \times 3 \times 7$ となる。

$\sqrt{84a} = \sqrt{2^2 \times 3 \times 7 \times a}$ が整数となるためには、$a$ は少なくとも $3 \times 7 = 21$ を含まなければならない。

$a = 21$ のとき、$\sqrt{84a} = \sqrt{2^2 \times 3 \times 7 \times (3 \times 7)} = \sqrt{2^2 \times 3^2 \times 7^2} = 2 \times 3 \times 7 = 42$

$a = 21 \times 2^2 = 84$ のとき、$\sqrt{84a} = \sqrt{2^2 \times 3 \times 7 \times (2^2 \times 3 \times 7)} = \sqrt{2^4 \times 3^2 \times 7^2} = 2^2 \times 3 \times 7 = 84$

$a = 21 \times 3^2 = 189$ のとき、$\sqrt{84a} = \sqrt{2^2 \times 3 \times 7 \times (3^2 \times 7)} = \sqrt{2^2 \times 3^3 \times 7^2} = 2 \times 3 \times 7\sqrt{3} = 42\sqrt{3}$ これは整数にならない

$a = 21 \times 4 = 84$ のとき、$\sqrt{84a} = \sqrt{2^2 \times 3 \times 7 \times (2^2)} = \sqrt{2^4 \times 3 \times 7 } = 4\sqrt{21}$ これは整数にならない。

$a=21$, $a=21 \times 2^2 = 84$, $a=21 \times 3^2 = 189$の場合を試す。

$a = 21 \times 1^2 = 21$

$a = 21 \times 2^2 = 84$

$a = 21 \times 3^2 = 189$

したがって、$a$ の値は 21, 84, 189 である。

3. 最終的な答え

(1) 42

(2) 1, 10, 13

(3) 21, 84, 189