0, 1, 2, 3 の数字が書かれたカードがそれぞれ2枚ずつ、合計8枚ある。この8枚のカードから3枚を選んで3桁の整数を作る。ただし、同じ数字のカードは区別できないものとする。以下の問いに答えよ。 (1) 0を使わないものはいくつあるか。 (2) 0を使うものはいくつあるか。 (3) 3桁の整数はいくつあるか。

1. 問題の内容

0, 1, 2, 3 の数字が書かれたカードがそれぞれ2枚ずつ、合計8枚ある。この8枚のカードから3枚を選んで3桁の整数を作る。ただし、同じ数字のカードは区別できないものとする。以下の問いに答えよ。

(1) 0を使わないものはいくつあるか。

(2) 0を使うものはいくつあるか。

(3) 3桁の整数はいくつあるか。

2. 解き方の手順

(1) 0を使わない3桁の整数

使用できる数字は1, 2, 3 のみ。

3枚とも異なる数字の場合: $3! = 6$通り

2枚が同じ数字の場合: 2枚同じ数字を選ぶ方法は3通り。残りの1枚は2通り。よって$3 \times 2 = 6$通り

よって、合計 $6 + 6 = 12$ 通り

(2) 0を使う3桁の整数

百の位は0以外の3通り。

十の位と一の位が両方とも0以外の場合：十の位と一の位は、

- 異なる数字の場合：百の位で使った数字以外の2つの数字を選ぶ。並べ方は2通り。$3 \times (2 \times 2)=12$通り

- 同じ数字の場合: 百の位の数以外で同じ数字を使う。2通りの選び方しかないので、$3 \times 2 = 6$通り

十の位と一の位のどちらか片方のみが0の場合: 百の位で選んだ数以外の2つの数字について考える。0を十の位に選ぶ場合と、一の位に選ぶ場合の2通りがある。よって$3\times 2 = 6$通り

よって合計$12 + 6 + 6 = 24$通り

(3) 3桁の整数

(1) より0を使わないものは12通り。

(2) より0を使うものは24通り。

よって、合計 $12 + 24 = 36$ 通り

別の解き方:

3桁の整数をつくる総数を求める。

全ての数字が異なる場合: 百の位の選び方は3通り、十の位の選び方は3通り、一の位の選び方は2通り。よって$3 \times 3 \times 2 = 18$通り

2つの数字が同じ場合: 百の位の選び方は3通り、同じ数字をどこに置くか2通り、残りの数字の選び方は2通り。よって $3 \times 2 \times 2=12$通り

3つの数字が同じ場合：1,2,3のどれかの数字が3つとも同じ。しかし、同じ数字のカードは2枚ずつしかないので、これは起こりえない。0が含まれていない場合に3つの数字が同じになるのはありえない。

よって、合計 $18 + 12 = 30$ 通りではない。

全場合の数を考える。

百の位は0以外の3通り。十の位は4通り、一の位は残りの3通り。$3 \times 4 \times 3 = 36$。

しかし、同じ数字の区別がつかないため、これでは正しい答えが出ない。

百の位に0以外の数字を選ぶ方法は3通り。

十の位に選べるのは4通り。一の位に選べるのは3通り。

しかし、同じ数字は区別できないため、重複を考える必要がある。

全ての数字が異なる場合。百の位の選び方は3通り。十の位の選び方は3通り。一の位の選び方は2通り。$3\times3\times2 = 18$通り

2つの数字が同じ場合。どの数字を2つ使うか3通り。残りの1桁をどの数字にするか2通り。同じ数字の配置2通り。$3 \times 2 \times 2 = 12$通り。

3つの数字が同じ場合。これはありえない。

$18+12 = 30$通り

3. 最終的な答え

(1) 12通り

(2) 24通り

(3) 36通り

(3) 30通り

最終的な答え

(1) 12

(2) 18

(3) 30