以下の10個の数学の問題を解きます。 (1) 数 $a$ は小数第2位で四捨五入すると5.3になる。$a$ の値の範囲を不等式で表せ。 (2) $3:(7+a) = 4:(3a-4)$ であるときの $a$ の値を求めよ。 (3) 0.083を歩合で表せ。 (4) ある水溶液の35%が280mLであった。この水溶液は全部で何Lか。 (5) 定価の8%を値引きした価格が1978円である。定価はいくらか。 (6) 5%の食塩水と10%の食塩水を混ぜて7%の食塩水500gを作る。5%の食塩水は何g必要か。 (7) 周囲の長さが100cmで、縦の長さが横の長さより長い長方形がある。この長方形の面積が600 cm²以上であるとき、縦の長さの範囲を求めよ。 (8) 標本調査の例を1つ挙げよ。 (9) データ10, 8, 5, 23, 14, 16, 7, 15, 32, 12の中央値を求めよ。 (10) 池の中の魚30匹を捕まえ、印をつけてから池に戻す。しばらくした後、池の中の魚48匹を捕まえたところ、そのうち18匹の魚に印がついていた。このことから、もともと池の中に何匹の魚がいたと推測できるか。

1. 問題の内容

以下の10個の数学の問題を解きます。

(1) 数 $a$ は小数第2位で四捨五入すると5.3になる。$a$ の値の範囲を不等式で表せ。

(2) $3:(7+a) = 4:(3a-4)$ であるときの $a$ の値を求めよ。

(3) 0.083を歩合で表せ。

(4) ある水溶液の35%が280mLであった。この水溶液は全部で何Lか。

(5) 定価の8%を値引きした価格が1978円である。定価はいくらか。

(6) 5%の食塩水と10%の食塩水を混ぜて7%の食塩水500gを作る。5%の食塩水は何g必要か。

(7) 周囲の長さが100cmで、縦の長さが横の長さより長い長方形がある。この長方形の面積が600 cm²以上であるとき、縦の長さの範囲を求めよ。

(8) 標本調査の例を1つ挙げよ。

(9) データ10, 8, 5, 23, 14, 16, 7, 15, 32, 12の中央値を求めよ。

(10) 池の中の魚30匹を捕まえ、印をつけてから池に戻す。しばらくした後、池の中の魚48匹を捕まえたところ、そのうち18匹の魚に印がついていた。このことから、もともと池の中に何匹の魚がいたと推測できるか。

2. 解き方の手順

(1) 四捨五入の問題

小数第2位で四捨五入して5.3になる数は、5.25以上5.35未満です。

したがって、$5.25 \le a < 5.35$。

(2) 比例式の問題

$3:(7+a) = 4:(3a-4)$ より、

$3(3a-4) = 4(7+a)$

$9a - 12 = 28 + 4a$

$5a = 40$

$a = 8$

(3) 歩合の問題

歩合は、割合を「割、分、厘」で表したものです。

0. 083 = 8分3厘

(4) 割合の問題

水溶液全体の量を$x$ mLとすると、

$0.35x = 280$

$x = \frac{280}{0.35} = 800$ mL

800mL = 0.8L

(5) 割引の問題

定価を$x$円とすると、

$x - 0.08x = 1978$

$0.92x = 1978$

$x = \frac{1978}{0.92} = 2150$ 円

(6) 食塩水の混合の問題

5%の食塩水を$x$ gとすると、10%の食塩水は$(500-x)$ g。

$0.05x + 0.10(500-x) = 0.07(500)$

$0.05x + 50 - 0.10x = 35$

$-0.05x = -15$

$x = 300$ g

(7) 長方形の問題

縦の長さを$x$ cm、横の長さを$y$ cmとすると、

$2(x+y) = 100$

$x+y = 50$

$y = 50 - x$

$xy \ge 600$

$x(50-x) \ge 600$

$50x - x^2 \ge 600$

$x^2 - 50x + 600 \le 0$

$(x-20)(x-30) \le 0$

$20 \le x \le 30$

また、縦の長さが横の長さより長いので、$x > y$ つまり $x > 50 - x$。

$2x > 50$

$x > 25$

したがって、$25 < x \le 30$

(8) 標本調査の例

学校の生徒の通学時間を調べるために、無作為に選んだ生徒100人の通学時間を調査する。

(9) 中央値の問題

データを小さい順に並べると、5, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 23, 32。

データ数が10個なので、中央値は5番目と6番目の値の平均。

中央値は、$\frac{12+14}{2} = 13$。

(10) 推定の問題

全体の魚の数を$x$匹とすると、

$\frac{30}{x} = \frac{18}{48}$

$18x = 30 \times 48$

$x = \frac{30 \times 48}{18} = \frac{30 \times 8}{3} = 10 \times 8 = 80$ 匹

3. 最終的な答え

(1) $5.25 \le a < 5.35$

(2) $a = 8$

(3) 8分3厘

(4) 0.8 L

(5) 2150 円

(6) 300 g

(7) $25 < x \le 30$ cm

(8) 学校の生徒の通学時間を調べるために、無作為に選んだ生徒100人の通学時間を調査する。

(9) 13

(10) 80 匹