与えられた行列 $ \begin{pmatrix} -2 & 3 & -3 \\ 1 & -2 & 1 \\ 4 & -4 & p \end{pmatrix} $ が正則となるための $p$ の条件を求め、正則であるときの逆行列を $p$ を用いて表す。

1. 問題の内容

与えられた行列

$$

\begin{pmatrix}

-2 & 3 & -3 \\

1 & -2 & 1 \\

4 & -4 & p

\end{pmatrix}

$$

が正則となるための $p$ の条件を求め、正則であるときの逆行列を $p$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

行列が正則であるための条件は、行列式が0でないことです。まず、与えられた行列の行列式を計算します。

$$

\begin{aligned}

\det(A) &= -2 \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -4 & p \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & p \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 4 & -4 \end{vmatrix} \\

&= -2(-2p - (-4)) - 3(p - 4) - 3(-4 - (-8)) \\

&= -2(-2p + 4) - 3(p - 4) - 3(4) \\

&= 4p - 8 - 3p + 12 - 12 \\

&= p - 8

\end{aligned}

$$

したがって、行列が正則であるための条件は、$\det(A) \neq 0$、つまり $p - 8 \neq 0$。

よって、$p \neq 8$ です。

次に、逆行列を求めます。逆行列を求めるには、余因子行列を計算し、それを転置し、行列式で割る必要があります。

与えられた行列を $A$ とすると、$A$ の余因子行列 $C$ は次のようになります。

$$

C_{11} = \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -4 & p \end{vmatrix} = -2p + 4 \\

C_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & p \end{vmatrix} = -(p - 4) = 4 - p \\

C_{13} = \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 4 & -4 \end{vmatrix} = -4 + 8 = 4 \\

C_{21} = -\begin{vmatrix} 3 & -3 \\ -4 & p \end{vmatrix} = -(3p - 12) = 12 - 3p \\

C_{22} = \begin{vmatrix} -2 & -3 \\ 4 & p \end{vmatrix} = -2p + 12 \\

C_{23} = -\begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 4 & -4 \end{vmatrix} = - (8 - 12) = 4 \\

C_{31} = \begin{vmatrix} 3 & -3 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 3 - 6 = -3 \\

C_{32} = -\begin{vmatrix} -2 & -3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(-2 + 3) = -1 \\

C_{33} = \begin{vmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 4 - 3 = 1

$$

したがって、余因子行列は

$$

C = \begin{pmatrix}

-2p + 4 & 4 - p & 4 \\

12 - 3p & -2p + 12 & 4 \\

-3 & -1 & 1

\end{pmatrix}

$$

余因子行列の転置は

$$

C^T = \begin{pmatrix}

-2p + 4 & 12 - 3p & -3 \\

4 - p & -2p + 12 & -1 \\

4 & 4 & 1

\end{pmatrix}

$$

逆行列は、行列式で行列を割ったものです。行列式は $p - 8$ でした。

$$

A^{-1} = \frac{1}{p - 8} \begin{pmatrix}

-2p + 4 & 12 - 3p & -3 \\

4 - p & -2p + 12 & -1 \\

4 & 4 & 1

\end{pmatrix}

$$

3. 最終的な答え

行列が正則であるための条件は、$p \neq 8$。

正則であるときの逆行列は、

$$

A^{-1} = \frac{1}{p - 8} \begin{pmatrix}

-2p + 4 & 12 - 3p & -3 \\

4 - p & -2p + 12 & -1 \\

4 & 4 & 1

\end{pmatrix}

$$