60mの直線上に、2mごとに白旗、3mごとに赤旗、4mごとに青旗を立てます。 (1) 3種類の旗が立つ場所は何ヶ所か。 (2) 2種類の旗が立つ場所は何ヶ所か。

1. 問題の内容

60mの直線上に、2mごとに白旗、3mごとに赤旗、4mごとに青旗を立てます。

(1) 3種類の旗が立つ場所は何ヶ所か。

(2) 2種類の旗が立つ場所は何ヶ所か。

2. 解き方の手順

(1) 3種類の旗が立つ場所は、2, 3, 4の公倍数ごとに存在します。2, 3, 4の最小公倍数は12なので、12mごとに3種類の旗が立ちます。

60mの中に12mは、$60 \div 12 = 5$回含まれるので、3種類の旗が立つ場所は5ヶ所です。

(2) 2種類の旗が立つ場所を考えます。

まず、2mと3mの公倍数、つまり6mごとに白旗と赤旗が立ちます。しかし、12mごとには3種類の旗が立つので、6mごとに白旗と赤旗が立つ場所から、12mごとに3種類の旗が立つ場所を引く必要があります。

60mの中に6mは、$60 \div 6 = 10$回含まれます。したがって、6mごとに白旗と赤旗が立つ場所は10ヶ所です。

そのうち、12mごとに3種類の旗が立つ場所は5ヶ所なので、白旗と赤旗だけが立つ場所は、$10 - 5 = 5$ヶ所です。

次に、2mと4mの公倍数、つまり4mごとに白旗と青旗が立ちます。しかし、4mの倍数は全て2mの倍数でもあるので、常に白旗が立ちます。4mごとに青旗が立つので、これはすでに白旗が立つ場所に含まれています。したがって、4mごとに白旗と青旗が立つ場所から、12mごとに3種類の旗が立つ場所を引く必要があります。

60mの中に4mは、$60 \div 4 = 15$回含まれます。したがって、4mごとに白旗と青旗が立つ場所は15ヶ所です。

12mごとに3種類の旗が立つ場所は5ヶ所です。

白旗と青旗だけが立つ場所は、$15 - 5 = 10$ ヶ所のように考えがちですが、これは正しくありません。

2mと4mの最小公倍数は4です。4mごとに白旗と青旗が立ちます。

3種類の旗が立つ場所(12m)は、4mごとの場所にも含まれています。12mは4mの3倍なので、12mごとに3種類の旗が立つ場所は、4mごとの場所に数えられています。白旗と青旗が立つ場所は、$60 \div 4 = 15$ヶ所です。3種類の旗が立つ場所は、$60 \div 12 = 5$ヶ所です。白旗と青旗のみが立つ場所は、$15 - 5 = 10$ヶ所です。

最後に、3mと4mの公倍数、つまり12mごとに赤旗と青旗が立ちます。これは既に3種類の旗が立つ場所なので、赤旗と青旗だけが立つ場所はありません。したがって、0ヶ所です。

2種類の旗が立つ場所の合計は、$5 + 10 + 0 = 15$ヶ所です。

3. 最終的な答え

(1) 5ヶ所

(2) 15ヶ所