$120n$ が整数の2乗になるような自然数 $n$ のうち、最も小さいものを求めよ。

1. 問題の内容

$120n$ が整数の2乗になるような自然数 $n$ のうち、最も小さいものを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$120$ を素因数分解します。

$120 = 2 \times 60 = 2 \times 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 2 \times 15 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3 \times 5$

したがって、$120n = 2^3 \times 3 \times 5 \times n$ となります。

$120n$ が整数の2乗になるためには、素因数分解したときの各素数の指数が偶数でなければなりません。

現在の指数は、2が3（奇数）、3が1（奇数）、5が1（奇数）です。

$n$ に $2, 3, 5$ をそれぞれ1つずつ掛けると、指数がすべて偶数になります。

したがって、$n = 2 \times 3 \times 5 = 30$ とすると、

$120n = 2^3 \times 3 \times 5 \times (2 \times 3 \times 5) = 2^4 \times 3^2 \times 5^2 = (2^2 \times 3 \times 5)^2 = (4 \times 3 \times 5)^2 = (60)^2 = 3600$

となり、これは $60$ の2乗になります。

$n$ がこれよりも小さいと、指数のいずれかが奇数になり、$120n$ が整数の2乗になりえません。

3. 最終的な答え

30