三角形ABCにおいて、$AB = 3$, $AC = 8$, $\angle BAC = 60^\circ$とする。 (1) 線分BCの長さを求める。 (2) $\angle BAC$の二等分線と辺BCの交点をDとするとき、線分ADの長さを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 3$, $AC = 8$, $\angle BAC = 60^\circ$とする。

(1) 線分BCの長さを求める。

(2) $\angle BAC$の二等分線と辺BCの交点をDとするとき、線分ADの長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いてBCの長さを求める。

余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos{\angle BAC}$

$BC^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \cos{60^\circ}$

$BC^2 = 9 + 64 - 48 \cdot \frac{1}{2}$

$BC^2 = 73 - 24$

$BC^2 = 49$

$BC = \sqrt{49} = 7$

線分の長さなので、BC > 0 である。

(2) 角の二等分線の性質を利用してBD:DCを求める。

角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC = 3:8$

したがって、$BD = \frac{3}{3+8} \cdot BC = \frac{3}{11} \cdot 7 = \frac{21}{11}$

三角形ABDの面積を$S_1$, 三角形ACDの面積を$S_2$とすると、

$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin{30^\circ} + \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin{30^\circ} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin{60^\circ}$

$3 \cdot AD \cdot \frac{1}{2} + 8 \cdot AD \cdot \frac{1}{2} = 3 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{3}{2}AD + \frac{8}{2}AD = 12\sqrt{3}$

$\frac{11}{2}AD = 12\sqrt{3}$

$AD = \frac{24\sqrt{3}}{11}$

別の解き方

$\angle BAC$の二等分線と辺BCの交点をDとするとき，$AD=x$とする。

三角形ABCの面積は $\frac{1}{2}\cdot AB \cdot AC \cdot \sin{60^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$

三角形ABDの面積は $\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin{30^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot x \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}x$

三角形ACDの面積は $\frac{1}{2} \cdot AC \cdot AD \cdot \sin{30^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot x \cdot \frac{1}{2} = 2x$

$\frac{3}{4}x + 2x = 6\sqrt{3}$

$\frac{11}{4}x = 6\sqrt{3}$

$x = \frac{24\sqrt{3}}{11}$

3. 最終的な答え

(1) 7

(2) $\frac{24\sqrt{3}}{11}$