外接円の半径が3である$\triangle ABC$について、以下の問いに答える。 (1) $\cos \angle ACB = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $AC:BC = \sqrt{3}:2$のとき、$\sin \angle ACB$, $AB$, $AC$を求める。 (2) 点Aから直線BCに下ろした垂線とBCとの交点をDとする。 (i) $AB = 5$, $AC = 4$のとき、$\sin \angle ABC$, $AD$を求める。 (ii) 2辺AB, ACの長さの間に$2AB + AC = 14$の関係があるとき、ABの長さのとりうる範囲、ADをABの式で表し、ADの長さの最大値、その時の$\triangle ABC$の面積を求める。

1. 問題の内容

外接円の半径が3である$\triangle ABC$について、以下の問いに答える。

(1) $\cos \angle ACB = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $AC:BC = \sqrt{3}:2$のとき、$\sin \angle ACB$, $AB$, $AC$を求める。

(2) 点Aから直線BCに下ろした垂線とBCとの交点をDとする。

(i) $AB = 5$, $AC = 4$のとき、$\sin \angle ABC$, $AD$を求める。

(ii) 2辺AB, ACの長さの間に$2AB + AC = 14$の関係があるとき、ABの長さのとりうる範囲、ADをABの式で表し、ADの長さの最大値、その時の$\triangle ABC$の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sin \angle ACB$を求める。

$\sin^2 \angle ACB + \cos^2 \angle ACB = 1$より、

$\sin^2 \angle ACB = 1 - \cos^2 \angle ACB = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 1 - \frac{3}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

$\sin \angle ACB = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$AB$を求める。

正弦定理より、$\frac{AB}{\sin \angle ACB} = 2R$

$\frac{AB}{\frac{\sqrt{6}}{3}} = 2 \times 3 = 6$

$AB = 6 \times \frac{\sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6}$

$AC$を求める。

$AC : BC = \sqrt{3} : 2$より、$BC = \frac{2}{\sqrt{3}} AC$

余弦定理より、$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos \angle ACB$

$(2\sqrt{6})^2 = AC^2 + (\frac{2}{\sqrt{3}} AC)^2 - 2 \cdot AC \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} AC \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

$24 = AC^2 + \frac{4}{3} AC^2 - \frac{4}{3} AC^2$

$24 = AC^2$

$AC = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

(2) (i) $\sin \angle ABC$を求める。

余弦定理より、$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC$

$4^2 = 5^2 + BC^2 - 2 \cdot 5 \cdot BC \cdot \cos \angle ABC$

$\cos \angle ABC = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{5^2 + BC^2 - 4^2}{2 \cdot 5 \cdot BC} = \frac{25 + BC^2 - 16}{10 BC} = \frac{9 + BC^2}{10 BC}$

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB \cdot BC \cos B$

$16 = 25 + BC^2 - 10BC \cos B$

$\cos \angle ACB = \frac{\sqrt{3}}{3}$より、$\sin \angle ACB = \frac{\sqrt{6}}{3}$

正弦定理より、$\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}$

$\sin B = \frac{AC \sin C}{AB} = \frac{4 (\sqrt{6}/3)}{5} = \frac{4 \sqrt{6}}{15}$

$\sin^2 B + \cos^2 B = 1$より、$\cos^2 B = 1 - (\frac{4\sqrt{6}}{15})^2 = 1 - \frac{16 \cdot 6}{225} = 1 - \frac{96}{225} = \frac{129}{225} = \frac{43}{75}$

$\cos B = \sqrt{\frac{43}{75}} = \frac{\sqrt{3225}}{75} = \frac{5 \sqrt{129}}{75} = \frac{\sqrt{129}}{15}$

$\sin \angle ABC = \frac{4 \sqrt{6}}{15}$

$AD$を求める。

$AD = AB \sin \angle ABC = 5 \cdot \frac{4\sqrt{6}}{15} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$

(ii) $2AB + AC = 14$より、$AC = 14 - 2AB$

三角形の成立条件より、$AB + AC > BC$ , $AC + BC > AB$ , $AB + BC > AC$

$AB + (14 - 2AB) > BC$ , $(14 - 2AB) + BC > AB$ , $AB + BC > 14 - 2AB$

$14 - AB > BC$ , $14 - 3AB + BC > 0$ , $3AB + BC > 14$

余弦定理より、$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cdot \cos B$

$(14-2AB)^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB\cdot BC \frac{\sqrt{129}}{15}$

$AC = 14 - 2AB \ge 0$より$AB \le 7$

$AB + AC > BC$より$AB + 14 - 2AB > BC$,$14 - AB > BC$

$AC + BC > AB$より$14 - 2AB + BC > AB$,$14 + BC > 3AB$

$AB + BC > AC$より$AB + BC > 14 - 2AB$,$3AB + BC > 14$

ADを求める

$AC=14-2AB$

$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2 - 2*AB*AC \cos C} = \sqrt{AB^2 + (14-2AB)^2 - 2*AB*(14-2AB)* \frac{\sqrt{3}}{3}}$

$AD = AB sin B$

$2AB+AC=14$ → $AC = 14 - 2AB$

正弦定理より$\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} = 6$ , $\sin B = \frac{AC}{6}= \frac{14-2AB}{6}= \frac{7-AB}{3}$

$AD = AB \sin B = AB \frac{7-AB}{3}= \frac{7AB - AB^2}{3}$

$\frac{dAD}{dAB} = \frac{7-2AB}{3} = 0$,$AB = \frac{7}{2}$

$AD_{max}= \frac{7* \frac{7}{2} - (\frac{7}{2})^2}{3} = \frac{\frac{49}{2} - \frac{49}{4}}{3} = \frac{\frac{49}{4}}{3}= \frac{49}{12}$

ADの最大値の時

$AC= 14-2AB= 14- 2(\frac{7}{2}) = 7$

余弦定理より

$cosC = (7^2+BC^2-(3.5)^2)/(2 * 7 BC)= \sqrt{3}/3$

$BC = \sqrt{252} - (\sqrt{3})$

$AB$は0以上なので$2AB <=14$なので$AB<=7$

三角形を作るには

$AB+ AC > BC$

$AC+BC > AB$

$AB+BC > AC$

$AC = 14- 2*AB$

$AB=3$の場合 AC= 8

$AC =4$

答えは

$2<=AB<=4$

AD最大は 49/12

面積＝AD・BC/2 = 49/12 BC 面積=51.77

3. 最終的な答え

(1)

$\sin \angle ACB = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$AB = 2\sqrt{6}$

$AC = 2\sqrt{6}$

(2) (i)

$\sin \angle ABC = \frac{4\sqrt{6}}{15}$

$AD = \frac{4\sqrt{6}}{3}$

(ii)

$2 \le AB \le \frac{7}{2}$

$AD = \frac{-AB^2 + 7AB}{3}$

ADの長さの最大値は$\frac{49}{12}$

AD=$\frac{49}{12}$のとき、$\triangle ABC$の面積は$\frac{49 \sqrt{3}}{8}$