問題文は以下の通りです。 xy平面上に点A(8, 4)と直線l: x + 2y - 6 = 0がある。 (1) 直線lに関してAと対称な点をA'とするとき、A'の座標を求めよ。 (2) 2点(1, 3), (2, 4)を通り、y軸に接する円は2つある。この2つの円の方程式を求めよ。 (3) (2)で求めた円のうち、半径が小さい方の円をCとする。また、lとx軸、y軸との交点をそれぞれS、Tとする。 今回は(2)の解き方と答えを示します。

1. 問題の内容

問題文は以下の通りです。

xy平面上に点A(8, 4)と直線l: x + 2y - 6 = 0がある。

(1) 直線lに関してAと対称な点をA'とするとき、A'の座標を求めよ。

(2) 2点(1, 3), (2, 4)を通り、y軸に接する円は2つある。この2つの円の方程式を求めよ。

(3) (2)で求めた円のうち、半径が小さい方の円をCとする。また、lとx軸、y軸との交点をそれぞれS、Tとする。

今回は(2)の解き方と答えを示します。

2. 解き方の手順

y軸に接する円の方程式は、中心のx座標をa、y座標をb、半径をrとすると、

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$

と表され、$|a| = r$が成り立つので、円の方程式は

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = a^2$

とおける。

この円が(1, 3), (2, 4)を通るので、それぞれ代入すると、

$(1 - a)^2 + (3 - b)^2 = a^2$

$(2 - a)^2 + (4 - b)^2 = a^2$

それぞれ展開して整理すると、

$1 - 2a + a^2 + 9 - 6b + b^2 = a^2$

$4 - 4a + a^2 + 16 - 8b + b^2 = a^2$

$10 - 2a - 6b + b^2 = 0$

$20 - 4a - 8b + b^2 = 0$

2番目の式から1番目の式を引くと、

$10 - 2a - 2b = 0$

$2a + 2b = 10$

$a = 5 - b$

これを1番目の式に代入すると、

$10 - 2(5 - b) - 6b + b^2 = 0$

$10 - 10 + 2b - 6b + b^2 = 0$

$b^2 - 4b = 0$

$b(b - 4) = 0$

$b = 0, 4$

(i) $b = 0$のとき

$a = 5 - b = 5$

よって、円の方程式は

$(x - 5)^2 + y^2 = 25$

$x^2 - 10x + 25 + y^2 = 25$

$x^2 - 10x + y^2 = 0$

(ii) $b = 4$のとき

$a = 5 - b = 1$

よって、円の方程式は

$(x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 1$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 8y + 16 = 1$

$x^2 - 2x + y^2 - 8y + 16 = 0$

3. 最終的な答え

2つの円の方程式は、

$(x - 5)^2 + y^2 = 25$

$(x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 1$

または、

$x^2 - 10x + y^2 = 0$

$x^2 - 2x + y^2 - 8y + 16 = 0$