$a$は1より小さい正の定数とする。$xy$平面の第1象限に、原点Oからの距離が$a$の点Pをとる。点Pを中心に半径1の円をかき、$x$軸との交点をA, C、$y$軸との交点をB, Dとする。ただし、点Aの$x$座標、点Bの$y$座標はともに正とする。$\angle POA = \theta$とおくとき、以下の問いに答えよ。 (1) 四角形ABCDの面積$S$を$a$と$\theta$で表せ。 (2) $\theta$が$0^\circ < \theta < 90^\circ$の範囲を動くとき、$S$の最大値および$S$が最大となるときの$\theta$の値を求めよ。

幾何学平面幾何座標平面面積三角関数最大値
2025/7/28

1. 問題の内容

aaは1より小さい正の定数とする。xyxy平面の第1象限に、原点Oからの距離がaaの点Pをとる。点Pを中心に半径1の円をかき、xx軸との交点をA, C、yy軸との交点をB, Dとする。ただし、点Aのxx座標、点Bのyy座標はともに正とする。POA=θ\angle POA = \thetaとおくとき、以下の問いに答えよ。
(1) 四角形ABCDの面積SSaaθ\thetaで表せ。
(2) θ\theta0<θ<900^\circ < \theta < 90^\circの範囲を動くとき、SSの最大値およびSSが最大となるときのθ\thetaの値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 四角形ABCDは凧形となる。点Pの座標を(xP,yP)(x_P, y_P)とすると、xP=acosθx_P = a \cos \thetayP=asinθy_P = a \sin \thetaである。
A, B, C, Dの座標はそれぞれ次のようになる。
A: (acosθ+1,0)(a \cos \theta + 1, 0)
B: (0,asinθ+1)(0, a \sin \theta + 1)
C: (acosθ1,0)(a \cos \theta - 1, 0)
D: (0,asinθ1)(0, a \sin \theta - 1)
四角形ABCDの面積SSは、対角線ACとBDの積の半分で与えられる。
ACの長さは(acosθ+1)(acosθ1)=2(a \cos \theta + 1) - (a \cos \theta - 1) = 2
BDの長さは(asinθ+1)(asinθ1)=2(a \sin \theta + 1) - (a \sin \theta - 1) = 2
ACの長さ = 22
BDの長さ = 22
S=12×2×2=2S = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2
座標の差を求めるのではなく、以下のように面積を考えると簡単である。
四角形ABCDは、対角線AC, BDをもち、それらは直交する。
AC=(acosθ+1)(acosθ1)=2AC = |(a \cos \theta + 1) - (a \cos \theta - 1)| = 2
BD=(asinθ+1)(asinθ1)=2BD = |(a \sin \theta + 1) - (a \sin \theta - 1)| = 2
したがって、四角形ABCDの面積SSは、
S=12ACBD=1222=2S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2
これは誤り。
A, Cのxx座標の差は 22。B, Dのyy座標の差は 22。Pの座標をP(acosθ,asinθ)P(a \cos \theta, a \sin \theta)とおくと、
A, Cのxx座標は acosθ±1a \cos \theta \pm 1。B, Dのyy座標は asinθ±1a \sin \theta \pm 1
AC=(acosθ+1)(acosθ1)=2AC = (a \cos \theta + 1) - (a \cos \theta - 1) = 2
BD=(asinθ+1)(asinθ1)=2BD = (a \sin \theta + 1) - (a \sin \theta - 1) = 2
なので、S=12ACBD=2S = \frac{1}{2} AC \cdot BD = 2.
(2) S=2S=2なので、θ\thetaの値に関わらずSSは一定である。
したがって、SSの最大値は22であり、θ\theta0<θ<900^\circ < \theta < 90^\circの任意の角度で最大値を取る。

3. 最終的な答え

(1) S=2S = 2
(2) SSの最大値は22θ\theta0<θ<900^\circ < \theta < 90^\circの任意の角度。

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