$a$は1より小さい正の定数とする。$xy$平面の第1象限に、原点Oからの距離が$a$の点Pをとる。点Pを中心に半径1の円をかき、$x$軸との交点をA, C、$y$軸との交点をB, Dとする。ただし、点Aの$x$座標、点Bの$y$座標はともに正とする。$\angle POA = \theta$とおくとき、以下の問いに答えよ。 (1) 四角形ABCDの面積$S$を$a$と$\theta$で表せ。 (2) $\theta$が$0^\circ < \theta < 90^\circ$の範囲を動くとき、$S$の最大値および$S$が最大となるときの$\theta$の値を求めよ。
2025/7/28
1. 問題の内容
は1より小さい正の定数とする。平面の第1象限に、原点Oからの距離がの点Pをとる。点Pを中心に半径1の円をかき、軸との交点をA, C、軸との交点をB, Dとする。ただし、点Aの座標、点Bの座標はともに正とする。とおくとき、以下の問いに答えよ。
(1) 四角形ABCDの面積をとで表せ。
(2) がの範囲を動くとき、の最大値およびが最大となるときのの値を求めよ。
2. 解き方の手順
(1) 四角形ABCDは凧形となる。点Pの座標をとすると、、である。
A, B, C, Dの座標はそれぞれ次のようになる。
A:
B:
C:
D:
四角形ABCDの面積は、対角線ACとBDの積の半分で与えられる。
ACの長さは
BDの長さは
ACの長さ =
BDの長さ =
座標の差を求めるのではなく、以下のように面積を考えると簡単である。
四角形ABCDは、対角線AC, BDをもち、それらは直交する。
したがって、四角形ABCDの面積は、
これは誤り。
A, Cの座標の差は 。B, Dの座標の差は 。Pの座標をとおくと、
A, Cの座標は 。B, Dの座標は 。
なので、.
(2) なので、の値に関わらずは一定である。
したがって、の最大値はであり、はの任意の角度で最大値を取る。
3. 最終的な答え
(1)
(2) の最大値は。はの任意の角度。