一辺の長さが10cmの正三角形ABCの折り紙がある。辺AB上の点Dと辺AC上の点Eを、線分DEと辺BCが平行になるようにとる。線分DEで折り紙を折るとき、三角形ADEのうち、四角形BCEDと重なり合う部分の面積をSとする。Sが最大となるのは線分DEの長さが何cmのときであり、そのときのSの値を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが10cmの正三角形ABCの折り紙がある。辺AB上の点Dと辺AC上の点Eを、線分DEと辺BCが平行になるようにとる。線分DEで折り紙を折るとき、三角形ADEのうち、四角形BCEDと重なり合う部分の面積をSとする。Sが最大となるのは線分DEの長さが何cmのときであり、そのときのSの値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、DEとBCが平行であることから、三角形ADEも正三角形であることがわかる。

DEの長さを$x$とすると、三角形ADEの高さは$\frac{\sqrt{3}}{2}x$となる。したがって、三角形ADEの面積は$\frac{1}{2}x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}x = \frac{\sqrt{3}}{4}x^2$となる。

また、四角形BCEDの面積は、正三角形ABCの面積から三角形ADEの面積を引いたものである。

正三角形ABCの面積は$\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 10^2 = 25\sqrt{3}$であるから、四角形BCEDの面積は$25\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}x^2$となる。

折り返したときに重なる部分の面積Sは、四角形BCEDの面積から三角形ADEの面積を引いたものである。

S = 四角形BCEDの面積 - (三角形ADEの面積)

$S = 25\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}x^2 - \frac{\sqrt{3}}{4}x^2 = 25\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}x^2$

ここで、問題文より、三角形ADEを折り返した際、四角形BCEDと重なり合う部分の面積をSとする。

したがって、重なり合う部分は、四角形BCEDから、折り返した三角形ADEのうち、元の三角形ABCからはみ出た部分を引いたものとなる。

ここで、Sが最大になる条件を考える。

$0 \le x \le 10$である。

四角形BCEDと重なり合う部分Sは、四角形BCEDから、折り返した際に元の三角形ABCからはみ出た三角形を取り除いた面積である。

四角形BCEDの面積を$T$とすると、$T = 25\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}x^2$である。

Sが最大になるのは、$x=5$のときである。

$x=5$のとき、$S = 25\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}(5^2) = 25\sqrt{3} - \frac{25\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{2}$。

3. 最終的な答え

DEの長さが5cmのとき、S = $\frac{25\sqrt{3}}{2}$ $cm^2$である。

したがって、DEの長さは5、Sの値は$\frac{25\sqrt{3}}{2}$となる。

計算すると$\frac{25\sqrt{3}}{2} \approx 21.65$

Sが最大となるのは線分DEの長さが5cmのときであり、このときS = $\frac{25\sqrt{3}}{2} cm^2$である。

DEの長さ：5

Sの値：21.65

```

5 cm

21.65 cm^2

```