四角形ABCDは平行四辺形であり、AF:FD=3:1、BE=EC、CH:HG=1:2である。このとき、AI:IHを最も簡単な整数の比で表す。Iは線分AGと線分BFの交点、Hは線分AGと線分CDの交点である。

1. 問題の内容

四角形ABCDは平行四辺形であり、AF:FD=3:1、BE=EC、CH:HG=1:2である。このとき、AI:IHを最も簡単な整数の比で表す。Iは線分AGと線分BFの交点、Hは線分AGと線分CDの交点である。

2. 解き方の手順

まず、座標を使って問題を解くことを考える。Aを原点(0,0)とする。

$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AD} = \vec{d}$ とおく。

$\vec{AF} = \frac{3}{4} \vec{AD} = \frac{3}{4} \vec{d}$

$\vec{AG} = \vec{AH} + \vec{HG} = \vec{AH} + \frac{2}{3}\vec{HC}$

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{b} + \vec{d}$

$\vec{AE} = \vec{AB} + \vec{BE} = \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{BC} = \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{d}$

$\vec{BF} = \vec{BA} + \vec{AF} = - \vec{b} + \frac{3}{4}\vec{d}$

点Iは直線BF上にあるので、ある実数sを用いて

$\vec{AI} = \vec{AB} + s \vec{BF} = (1-s) \vec{b} + \frac{3}{4} s \vec{d}$

点Iは直線AG上にあるので、ある実数tを用いて

$\vec{AI} = t \vec{AG}$

Hは直線AGと直線CDの交点なので、

$\vec{AH} = k\vec{AG}$

$\vec{AH} = \vec{AD} + \vec{DH} = \vec{d} + m\vec{DC} = \vec{d} + m\vec{BA} = \vec{d} - m \vec{b}$

$\vec{AG} = \vec{AH} + \vec{HG} = \vec{d} - m\vec{b} + \frac{2}{3} \vec{HC}$

$\vec{HC} = \frac{1}{3} \vec{CG}$

$\vec{AH} = (1 - \frac{3}{4}m)\vec{d} + \frac{3}{4} m \vec{b}$

$\frac{CH}{HG} = \frac{1}{2}$より、$\vec{AH} = \vec{AC} \frac{3}{5} = \frac{3}{5} \vec{b} + \frac{3}{5} \vec{d}$

$\vec{AI} = x \vec{AG}$, $\vec{AG} = \vec{AC} + \vec{CG} = \vec{b} + \vec{d} + \frac{3}{2} \vec{CH}$

$\vec{CD} = \vec{BA}$

$\vec{HC} = \alpha\vec{CD} = \alpha \vec{BA} = - \alpha \vec{b}$

$\frac{HC}{CD} = \alpha$

$\vec{AH} = \vec{d} - m \vec{b} = \frac{3}{5}(\vec{b} + \vec{d})$

$\vec{AH} = \frac{3}{5} \vec{b} + \frac{3}{5} \vec{d}$

より、 $m = -\frac{3}{5}$

$\vec{AG} = \frac{5}{3} \vec{AH}$

$\vec{AG} = \frac{5}{3} (\frac{3}{5}\vec{b} + \frac{3}{5}\vec{d}) = \vec{b} + \vec{d}$

$\vec{AI} = (1-s) \vec{b} + \frac{3}{4} s \vec{d} = t \vec{AG} = t (\vec{b} + \vec{d})$

$1-s = t$, $\frac{3}{4} s = t$

$1-s = \frac{3}{4}s$

$1 = \frac{7}{4}s$

$s = \frac{4}{7}$

$t = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}$

$\vec{AI} = \frac{3}{7} \vec{b} + \frac{3}{7} \vec{d}$

$AI:IG = t:(1-t) = \frac{3}{7} : \frac{4}{7} = 3:4$

$\vec{AH} = \frac{3}{5}(\vec{b} + \vec{d})$

$AH:AG = \frac{3}{5}$

$AI:IH = AI:(AH-AI) = \frac{3}{7}:(\frac{3}{5}-\frac{3}{7}) = \frac{3}{7}:(\frac{21-15}{35}) = \frac{3}{7}: \frac{6}{35} = \frac{3}{7}:\frac{6}{35} = \frac{1}{7}:\frac{2}{35} = 5:2$

3. 最終的な答え

5:2