円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=1$, $BC=CD=\sqrt{2}$, $DA=\sqrt{3}$とする。 (1) $\cos A$, $BD$, $OC$（円の中心からCまでの距離、すなわち円の半径）を求める。 (2) 四角形ABCDの面積を求める。 (3) $AC^2$を求め、それを利用して$\cos 75^\circ$を求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=1$, $BC=CD=\sqrt{2}$, $DA=\sqrt{3}$とする。

(1) $\cos A$, $BD$, $OC$（円の中心からCまでの距離、すなわち円の半径）を求める。

(2) 四角形ABCDの面積を求める。

(3) $AC^2$を求め、それを利用して$\cos 75^\circ$を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\cos A$について：

三角形ABDにおいて余弦定理を用いると、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2(AB)(AD) \cos A = 1^2 + (\sqrt{3})^2 - 2(1)(\sqrt{3}) \cos A = 4 - 2\sqrt{3} \cos A$。

三角形BCDにおいて余弦定理を用いると、

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2(BC)(CD) \cos C = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2(\sqrt{2})(\sqrt{2}) \cos C = 4 - 4 \cos C$。

四角形ABCDは円に内接するので、$A+C=180^\circ$, $C = 180^\circ - A$、$\cos C = \cos (180^\circ - A) = - \cos A$。

したがって、$4 - 2\sqrt{3} \cos A = 4 - 4 (-\cos A) = 4 + 4 \cos A$。

$- 2\sqrt{3} \cos A = 4 \cos A$。

$\cos A(4+2\sqrt{3})=0$なので、

$BD^2 = 4 - 2 \sqrt{3} \cos A = 4-4(-\cos A)$。

$4\cos A + 2\sqrt{3} \cos A = 0$

$\cos A (4 + 2\sqrt{3}) = 0$

$\cos A = 0$

$BD$について：

$\cos A = 0$より、$BD^2 = 4 - 2\sqrt{3} \cos A = 4 - 2\sqrt{3} (0) = 4$, よって$BD = 2$。

$OC$について：

円の中心をOとする。$\angle BCD = 180^{\circ} - \angle BAD = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$。

三角形BCDで正弦定理を使うと、

$\frac{BD}{\sin \angle BCD} = 2OC$。

$\frac{2}{\sin 90^\circ} = 2OC$。

$\frac{2}{1} = 2OC$, よって$OC=1$。

(2) 四角形ABCDの面積について：

四角形ABCDの面積は、三角形ABDの面積と三角形BCDの面積の和である。

三角形ABDの面積は、$\frac{1}{2} (AB)(AD) \sin A = \frac{1}{2} (1)(\sqrt{3}) \sin 90^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

三角形BCDの面積は、$\frac{1}{2} (BC)(CD) \sin C = \frac{1}{2} (\sqrt{2})(\sqrt{2}) \sin 90^\circ = 1$。

したがって、四角形ABCDの面積は$\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = \frac{2+\sqrt{3}}{2}$。

(3) $AC^2$について：

三角形ABCにおいて余弦定理を用いると、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC) \cos B = 1^2 + (\sqrt{2})^2 - 2(1)(\sqrt{2}) \cos B = 3 - 2\sqrt{2} \cos B$。

三角形ADCにおいて余弦定理を用いると、

$AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2(AD)(DC) \cos D = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2(\sqrt{3})(\sqrt{2}) \cos D = 5 - 2\sqrt{6} \cos D$。

四角形ABCDは円に内接するので、$B+D=180^\circ$, $D = 180^\circ - B$、$\cos D = \cos (180^\circ - B) = - \cos B$。

したがって、$AC^2 = 5 - 2\sqrt{6} (-\cos B) = 5 + 2\sqrt{6} \cos B$。

ゆえに、$3 - 2\sqrt{2} \cos B = 5 + 2\sqrt{6} \cos B$。

$-2 = (2\sqrt{6} + 2\sqrt{2}) \cos B$。

$\cos B = \frac{-2}{2\sqrt{6} + 2\sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{-(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{-(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = \frac{-\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$。

$AC^2 = 3 - 2\sqrt{2} \cos B = 3 - 2\sqrt{2} (\frac{-\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}) = 3 - \frac{-\sqrt{12} + 2}{2} = 3 + \frac{2\sqrt{3} - 2}{2} = 3 + \sqrt{3} - 1 = 2 + \sqrt{3}$。

$\cos 75^\circ$について：

$\cos 75^\circ = \cos (45^\circ + 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$。

3. 最終的な答え

(1) $\cos A = 0$, $BD = 2$, $OC = 1$

(2) 四角形ABCDの面積 = $\frac{2+\sqrt{3}}{2}$

(3) $AC^2 = 2+\sqrt{3}$, $\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

13: ア

14: イ

15: ア

16: ウ

17: ウ

18: ア