与えられた方程式を満たす複素数 $z$ が表す図形を複素平面上に図示する問題です。 (1) $|z| = 1$ (2) $\arg z = \frac{\pi}{4}$

1. 問題の内容

与えられた方程式を満たす複素数 $z$ が表す図形を複素平面上に図示する問題です。

(1) $|z| = 1$

(2) $\arg z = \frac{\pi}{4}$

2. 解き方の手順

(1) $|z| = 1$ の場合:

複素数 $z$ を $z = x + yi$ ($x, y$ は実数) と表すと、$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ となります。

したがって、$|z| = 1$ は $\sqrt{x^2 + y^2} = 1$ となり、両辺を2乗すると

$x^2 + y^2 = 1$

これは、中心が原点 $(0, 0)$、半径が1の円を表します。

(2) $\arg z = \frac{\pi}{4}$ の場合:

複素数 $z$ の偏角が $\frac{\pi}{4}$ であるということは、複素平面上で原点から $z$ を結ぶ線分と実軸の正の方向とのなす角が $\frac{\pi}{4}$ ラジアン（45度）であることを意味します。これは、直線 $y = x$ の $x > 0$ の部分（原点を除く）を表します。

3. 最終的な答え

(1) $|z| = 1$ の表す図形：中心が原点、半径が1の円

(2) $\arg z = \frac{\pi}{4}$ の表す図形：直線 $y = x$ の $x > 0$ の部分（原点を除く）