平行四辺形ABCDにおいて、$AF:FD = 3:1$、$BE:EC = 1:1$、$CH:HG = 1:2$であるとき、三角形AIFと四角形ECDFの面積の比を最も簡単な整数の比で表す問題です。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、$AF:FD = 3:1$、$BE:EC = 1:1$、$CH:HG = 1:2$であるとき、三角形AIFと四角形ECDFの面積の比を最も簡単な整数の比で表す問題です。

2. 解き方の手順

平行四辺形ABCDの面積をSとします。

$AF:FD = 3:1$より、$AF = \frac{3}{4}AD$

$BE:EC = 1:1$より、$EC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}AD$

$\triangle AFD = \frac{1}{2} \times FD \times AD \sin(\angle ADF)$.

$\triangle ADF = \frac{1}{2} AD \times AF \sin (\angle DAF)$

$\triangle AFD = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4}AD \times CD \times \sin (\angle ADC)= \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} AD \times CD \times \sin (\angle ADC) = \frac{1}{4} S_{\triangle ADC} = \frac{1}{8}S$

$S_{\triangle AFD} = \frac{1}{4}AD \times h = \frac{1}{4} AD \times DC \sin(\angle ADC) = \frac{1}{4} S_{平行四辺形ABCD} = \frac{1}{4}S$.

三角形ADGと直線FCに着目し、メネラウスの定理を適用する。

$\frac{AF}{FD} \times \frac{DH}{HG} \times \frac{GC}{CA} = 1$.

$\frac{3}{1} \times \frac{1}{2} \times \frac{GC}{CA} = 1$

$\frac{GC}{CA} = \frac{2}{3}$. よって、$AC:CG = 3:2$。よって、$AG:AC=5:3$.

$\triangle AIF \sim \triangle CIG$であり、$AI:IG = AF:GC$。$AC:CG=3:2$であるので、$AC = AD$.

$\frac{AF}{GC}=\frac{AF}{CG} = \frac{\frac{3}{4} AD}{\frac{2}{3} AD} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{4}\times \frac{3}{2} = \frac{9}{8}$.

よって$AI:IG=9:8$なので、$AI:AG = 9:17$。

$\triangle AIF = \frac{AI}{AG} \times \frac{AF}{AD} \times \triangle ADG$

$\triangle ADG = \frac{1}{2}AD \times DG \sin (\angle ADG)= \frac{1}{2}AD \times (DC+CG)\sin(\angle ADC) = (\frac{1}{2}AD \times DG \sin (\angle ADC))$

$DG= \sqrt { DC^2+CG^2 -2 \times CD \times CG \cos(\angle DCG)}$.

$AF = \frac{3}{4} AD$, $EC = \frac{1}{2} AD$.

$S_{ECDF} = S_{ABCD} - S_{AFD} - S_{ABE} = S- \frac{1}{4} AD\times CD \sin \theta -\frac{1}{2} \times AB\times BE \times \sin(180^\circ - \theta)$.

平行四辺形の面積をSと置くと、$AD \times CD \sin \theta = S$

$S_{ECDF} = S- \frac{3}{8} S = \frac{5}{8} S$

$\triangle AFD = \frac{1}{2} AF\times FD \sin(\angle AFD)$.

$S_{\triangle AIF} = \frac{AI}{AE} \times \frac{AF}{AD} \times S_{\triangle ADE}$.

3. 最終的な答え

答えが出せませんでした。