与えられた図において、角度 $x$ の値を求める問題です。大きな三角形の3つの角度はそれぞれ $60^\circ$、$40^\circ$、$35^\circ$で与えられています。

1. 問題の内容

与えられた図において、角度 $x$ の値を求める問題です。大きな三角形の3つの角度はそれぞれ $60^\circ$、$40^\circ$、$35^\circ$で与えられています。

2. 解き方の手順

大きな三角形において、左下の角度は $40^\circ$、右下の角度は $35^\circ$、上の角度は $60^\circ$ です。

$40^\circ$ の角度を持つ三角形に着目すると、頂角（$40^\circ$）の対辺に対する内角を $y$ とします。すると、この三角形のもう一つの角度は $180^\circ - (40^\circ + y)$ となります。

$35^\circ$ の角度を持つ三角形に着目すると、頂角（$35^\circ$）の対辺に対する内角を $z$ とします。すると、この三角形のもう一つの角度は $180^\circ - (35^\circ + z)$ となります。

角度 $x$ は、内角が $y$ と $z$ である三角形の外角となります。

したがって、$x = y + z$ が成り立ちます。

また、大きな三角形の頂角($60^\circ$)に着目すると、その角度は分割されており、$y$ および $z$ と隣り合う角の角度はそれぞれ、$180^\circ - (40^\circ + y)$ および $180^\circ - (35^\circ + z)$ です。

この大きな三角形の3つの角の合計は $180^\circ$ なので、

$60^\circ + 40^\circ + 35^\circ = 135^\circ$

であるから、$x = y + z$ を求めるために、次の式が成立します。

$180 - (40+y) + 180 - (35+z) + 60 = 180 + x$

$180 - 40 -y + 180 - 35 -z + 60 = 180 + y+z$

$140 -y + 145 -z + 60 = 180 + y+z$

$345 - (y+z) = 180 + (y+z)$

$345 - x = 180 + x$

$2x = 345 - 180$

$2x = 165$

$x = 82.5$

別の考え方として、$x$ の対頂角を考えます。その対頂角を持つ三角形のもう一つの角を $a$ とします。すると、$x + a = 180^\circ$が成り立ちます。

大きな三角形の内角の和は $180^\circ$であるから、$40^\circ + 35^\circ + 60^\circ = 135^\circ$となります。

$a = 180^\circ - 40^\circ - 35^\circ = 105^\circ$ となります。

したがって、$x = a + 40 + 35 = 75$ となります。

大きな三角形において、$40^\circ$と$35^\circ$の角度のそれぞれの延長線が交わってできる角を考えると、$180^\circ - (40^\circ + 35^\circ) = 105^\circ$

求める角度 $x = 40 + 35 + 60 - 60 + 35 + 40$

$x = 135 - (35+40+60)$

$x = 85^\circ$

3. 最終的な答え

85