放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ を $G$ とし、直線 $y = x - \frac{1}{2}$ を $l$ とする。 (1) $G$ と $l$ の接点 $A$ の座標を求める。 (2) $l$ を $x$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動した直線 $m$ の方程式を求める。 (3) $m$ と $G$ の交点 $B$ と $C$ の座標を求める。 (4) $\angle ABC$ の大きさを求める。 (5) $\triangle ABC$ の面積を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ を $G$ とし、直線 $y = x - \frac{1}{2}$ を $l$ とする。

(1) $G$ と $l$ の接点 $A$ の座標を求める。

(2) $l$ を $x$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動した直線 $m$ の方程式を求める。

(3) $m$ と $G$ の交点 $B$ と $C$ の座標を求める。

(4) $\angle ABC$ の大きさを求める。

(5) $\triangle ABC$ の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) $G$ と $l$ の接点 $A$ の座標を求める。

$G$ と $l$ の方程式を連立させると、

$\frac{1}{2}x^2 = x - \frac{1}{2}$

$x^2 = 2x - 1$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x-1)^2 = 0$

$x = 1$

$y = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

よって、接点 $A$ の座標は $(1, \frac{1}{2})$

(2) $l$ を $x$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動した直線 $m$ の方程式を求める。

$l$ の方程式は $y = x - \frac{1}{2}$ なので、$x$ を $x+2$ に置き換えると、

$y = (x+2) - \frac{1}{2} = x + \frac{3}{2}$

よって、直線 $m$ の方程式は $y = x + \frac{3}{2}$

(3) $m$ と $G$ の交点 $B$ と $C$ の座標を求める。

$m$ と $G$ の方程式を連立させると、

$\frac{1}{2}x^2 = x + \frac{3}{2}$

$x^2 = 2x + 3$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x-3)(x+1) = 0$

$x = 3, -1$

$x = 3$ のとき $y = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

$x = -1$ のとき $y = -1 + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$

よって、$B(-1, \frac{1}{2})$, $C(3, \frac{9}{2})$

(4) $\angle ABC$ の大きさを求める。

$A(1, \frac{1}{2})$, $B(-1, \frac{1}{2})$, $C(3, \frac{9}{2})$

$\overrightarrow{BA} = (2, 0)$, $\overrightarrow{BC} = (4, 4)$

$\cos \angle ABC = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}| |\overrightarrow{BC}|} = \frac{2 \times 4 + 0 \times 4}{2 \times \sqrt{4^2+4^2}} = \frac{8}{2 \times 4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\angle ABC = 45^\circ$

(5) $\triangle ABC$ の面積を求める。

$A(1, \frac{1}{2})$, $B(-1, \frac{1}{2})$, $C(3, \frac{9}{2})$

$\overrightarrow{BA} = (2, 0)$, $\overrightarrow{BC} = (4, 4)$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} |2 \times 4 - 0 \times 4| = \frac{1}{2} |8| = 4$

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 1

ウ: 2

エ: 3

オ: 2

カ: 1

キ: 1

ク: 2

ケ: 3

コ: 9

サ: 2

シス: 45

セ: 4