外接円の半径が3である$\triangle ABC$を考える。 (1) $\cos \angle ACB = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $AC:BC = \sqrt{3}:2$のとき、$\sin \angle ACB$, $AB$, $AC$の値を求める。 (2) 点$A$から直線$BC$に引いた垂線と直線$BC$との交点を$D$とする。 (i) $AB=5$, $AC=4$のとき、$\sin \angle ABC$, $AD$の値を求める。 (ii) 2辺$AB$, $AC$の長さの間に$2AB+AC=14$の関係があるとき、$AB$の長さのとり得る値の範囲、$AD$の式、そして$AD$の最大値と対応する$\triangle ABC$の面積を求める。

1. 問題の内容

外接円の半径が3である$\triangle ABC$を考える。

(1) $\cos \angle ACB = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $AC:BC = \sqrt{3}:2$のとき、$\sin \angle ACB$, $AB$, $AC$の値を求める。

(2) 点$A$から直線$BC$に引いた垂線と直線$BC$との交点を$D$とする。

(i) $AB=5$, $AC=4$のとき、$\sin \angle ABC$, $AD$の値を求める。

(ii) 2辺$AB$, $AC$の長さの間に$2AB+AC=14$の関係があるとき、$AB$の長さのとり得る値の範囲、$AD$の式、そして$AD$の最大値と対応する$\triangle ABC$の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\sin^2 \angle ACB + \cos^2 \angle ACB = 1$より、

$\sin^2 \angle ACB = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{3}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

$\sin \angle ACB = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ (正の値のみをとる)

よって、$AC:BC = \sqrt{3}:2$より、$AC = \sqrt{3}k$, $BC = 2k$とおける。

正弦定理より、$\frac{AB}{\sin \angle ACB} = 2R = 6$

余弦定理より、$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2AC\cdot BC \cos \angle ACB = 3k^2 + 4k^2 - 2\sqrt{3}k\cdot 2k \frac{\sqrt{3}}{3} = 7k^2 - 4k^2 = 3k^2$

$AB = \sqrt{3}k$

$\frac{AB}{\sin \angle ACB} = \frac{\sqrt{3}k}{\frac{\sqrt{6}}{3}} = \frac{3\sqrt{3}k}{\sqrt{6}} = \frac{3k}{\sqrt{2}} = 6$

$k = \frac{6\sqrt{2}}{3} = 2\sqrt{2}$

$AC = \sqrt{3}k = \sqrt{3}\cdot 2\sqrt{2} = 2\sqrt{6}$

$AB = \sqrt{3}k = \sqrt{3}\cdot 2\sqrt{2} = 2\sqrt{6}$

(2)

(i) 余弦定理より、$\cos \angle ABC = \frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2\cdot AB\cdot BC} = \frac{25+BC^2-16}{2\cdot 5 \cdot BC} = \frac{9+BC^2}{10BC}$

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cos \angle ABC$

$16 = 25 + BC^2 - 10BC \cos \angle ABC$

$\cos \angle ABC = \frac{25+BC^2-16}{10BC} = \frac{9+BC^2}{10BC}$

正弦定理より、$\frac{4}{\sin \angle ABC} = 6 \implies \sin \angle ABC = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$\cos^2 \angle ABC + \sin^2 \angle ABC = 1$より、$\cos^2 \angle ABC = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$\cos \angle ABC = \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$

$BC = \sqrt{AB^2-AD^2} + \sqrt{AC^2-AD^2}$

$\sin \angle ABC = \frac{AD}{AB}$より、$AD = AB \sin \angle ABC = 5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{10}{3}$

(ii) $2AB + AC = 14$より、$AC = 14 - 2AB$

$AC > 0$より、$14 - 2AB > 0 \implies 2AB < 14 \implies AB < 7$

$AB + AC > BC$, $AB + BC > AC$, $AC + BC > AB$が成り立つ必要がある。

また、$AB > 0$

$AD = \frac{2\sqrt{14AB-AB^2}}{3}$

$AD^2 = AC^2 - CD^2$

$AD^2 = AB^2 - BD^2$

$AD = \frac{AC \cdot AB \sin \angle C}{2}$

$AD=\frac{2\sqrt{-AB^2+14AB}}{3}$を最大にする$AB$を求める。

$-AB^2+14AB = -(AB^2 - 14AB + 49) + 49 = -(AB-7)^2 + 49$

$AB=7$で最大値49をとる。しかし、$AB < 7$なので、

$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{AC^2 - CD^2}$

$AD = \frac{2\sqrt{14AB - AB^2}}{3}$

$AD^2 = AB^2 - BD^2$

$AB = 7/2$のとき、$AD=10/3$

$\triangle ABC$の面積 = $\frac{1}{2}BC\cdot AD$

1. 最終的な答え

ア: 6

イ: 3

ウ: 2

エ: 6

オ: 2

カ: 6

キ: 2

ク: 3

ケコ: 10

サ: 3

シ: 3

ス: 7

セソ: 2

チ: 9

タ: 2

ツ: 3

テ: 3

ト: 5

ナ: 3