複素数平面上に3点A(1), B(z), C($z^2$)がある。 (1) A, B, Cが異なる3点となるための$z$の条件を求める。 (2) 異なる3点A, B, Cが同一直線上にあるような$z$の条件を求める。 (3) A, B, Cが正三角形の頂点となるような$z$を求める。 (4) $z \ne 0$のとき、直線ABと直線BCが垂直となるようなすべての$z$を求める。

1. 問題の内容

複素数平面上に3点A(1), B(z), C($z^2$)がある。

(1) A, B, Cが異なる3点となるための$z$の条件を求める。

(2) 異なる3点A, B, Cが同一直線上にあるような$z$の条件を求める。

(3) A, B, Cが正三角形の頂点となるような$z$を求める。

(4) $z \ne 0$のとき、直線ABと直線BCが垂直となるようなすべての$z$を求める。

2. 解き方の手順

(1) A, B, Cが異なる3点となる条件は、$z \ne 1$かつ$z^2 \ne 1$かつ$z^2 \ne z$である。

$z \ne 1$は明らか。

$z^2 \ne 1$より、$z \ne \pm 1$

$z^2 \ne z$より、$z(z-1) \ne 0$なので、$z \ne 0, 1$

よって、$z \ne 0, 1, -1$

(2) 異なる3点A(1), B(z), C($z^2$)が同一直線上にある条件は、$\frac{z^2-1}{z-1}$が実数であることである。

$\frac{z^2-1}{z-1} = z+1$が実数となる条件は、$z$が実数であること。ただし、$z \ne 1$

$z$は実数なので、$\bar{z} = z$

また、(1)より、$z \ne 0, 1, -1$

(3) A, B, Cが正三角形の頂点となる条件は、

$(1-z)^2 + (z-z^2)^2 + (z^2-1)^2 = 0$を満たすことである。

$1 + z^2 + z^4 - z - z^2 - z^3 = 0$

$(z^2-z+1)(z^2+z+1) = 0$

$z^2-z+1=0$の解は$z = \frac{1 \pm \sqrt{1-4}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

$z^2+z+1=0$の解は$z = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

$\frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$より、$z = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$

(4) 直線ABと直線BCが垂直となる条件は、$\frac{z-1}{z^2-z}$が純虚数であることである。

$\frac{z-1}{z(z-1)} = \frac{1}{z}$が純虚数となる条件は、$Re(\frac{1}{z}) = 0$

$z = x+iy$とおくと、$\frac{1}{z} = \frac{1}{x+iy} = \frac{x-iy}{x^2+y^2}$

よって、$Re(\frac{1}{z}) = \frac{x}{x^2+y^2} = 0$

$x=0$より、$z$は純虚数。

$\frac{1}{z} + \frac{1}{\bar z} =0$, $\bar{z} = -z$より、$z = -\bar{z}$

3. 最終的な答え

(1) $z \ne 0, 1, -1$ よって1=0, 2=1, 3=-1, 4=なにもなし

(2) $z \ne 0, 1, -1$ かつ $z=\bar z$ よって1=0, 2=1, 3=-1, 4=なにもなし, 5=$\bar z$ (2)

(3) $z = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i$ よって 6=1, 7=3, 8=2, 9=3, 10=2

(4) $z = -\bar z$ よって 11=-$\bar z$ (1)