財布の中に100円玉が3枚、50円玉が5枚、10円玉が8枚、5円玉が5枚入っている。345円の商品を買うとき、おつりが出ないようなお金の支払い方は何通りあるかを考える。ただし、使わない硬貨があってもよいとする。 (1) 5円玉を1枚使って支払うときの場合の数 (2) 5円玉を3枚使って支払うときの場合の数 (3) 5円玉を5枚使って支払うときの場合の数 (4) お金の支払い方全体の数

はい、承知いたしました。問題40を解きます。

1. 問題の内容

財布の中に100円玉が3枚、50円玉が5枚、10円玉が8枚、5円玉が5枚入っている。345円の商品を買うとき、おつりが出ないようなお金の支払い方は何通りあるかを考える。ただし、使わない硬貨があってもよいとする。

(1) 5円玉を1枚使って支払うときの場合の数

(2) 5円玉を3枚使って支払うときの場合の数

(3) 5円玉を5枚使って支払うときの場合の数

(4) お金の支払い方全体の数

2. 解き方の手順

まず、345円を支払うために必要な100円玉、50円玉、10円玉の枚数の組み合わせを考える。

(1) 5円玉を1枚使う場合

まず5円玉1枚(5円)を使うことが確定しているので、残り340円を100円玉、50円玉、10円玉で支払う方法を考えます。

100円玉の枚数を $x$、50円玉の枚数を $y$、10円玉の枚数を $z$ とすると、

$100x + 50y + 10z = 340$

ただし、$0 \le x \le 3$, $0 \le y \le 5$, $0 \le z \le 8$

$10x + 5y + z = 34$

$x$で場合分けします。

$x=0$のとき、$5y+z=34$を満たすのは、$y=5, z=9$となり、$z>8$なので不適。

$x=1$のとき、$5y+z=24$を満たすのは、$y=3, z=9$または$y=4, z=4$。$z>8$なので$y=4, z=4$

$x=2$のとき、$5y+z=14$を満たすのは、$y=0, z=14$、$y=1, z=9$、$y=2, z=4$。$z>8$なので$y=2, z=4$

$x=3$のとき、$5y+z=4$を満たすのは、$y=0, z=4$。

よって、(1,4,4), (2,2,4), (3,0,4)の3通り。

(2) 5円玉を3枚使う場合

まず5円玉3枚(15円)を使うことが確定しているので、残り330円を100円玉、50円玉、10円玉で支払う方法を考えます。

$100x + 50y + 10z = 330$

ただし、$0 \le x \le 3$, $0 \le y \le 5$, $0 \le z \le 8$

$10x + 5y + z = 33$

$x$で場合分けします。

$x=0$のとき、$5y+z=33$を満たすのは、$y=5, z=8$。

$x=1$のとき、$5y+z=23$を満たすのは、$y=3, z=8$または$y=4, z=3$。

$x=2$のとき、$5y+z=13$を満たすのは、$y=1, z=8$または$y=2, z=3$。

$x=3$のとき、$5y+z=3$を満たすのは、$y=0, z=3$。

よって、(0,5,8), (1,3,8), (1,4,3), (2,1,8), (2,2,3), (3,0,3)の6通り。

(3) 5円玉を5枚使う場合

まず5円玉5枚(25円)を使うことが確定しているので、残り320円を100円玉、50円玉、10円玉で支払う方法を考えます。

$100x + 50y + 10z = 320$

ただし、$0 \le x \le 3$, $0 \le y \le 5$, $0 \le z \le 8$

$10x + 5y + z = 32$

$x$で場合分けします。

$x=0$のとき、$5y+z=32$を満たすのは、$y=4, z=12$、$y=5, z=7$。$z>8$なので$y=5, z=7$

$x=1$のとき、$5y+z=22$を満たすのは、$y=2, z=12$、$y=3, z=7$、$y=4, z=2$。$z>8$なので$y=3, z=7$、$y=4, z=2$。

$x=2$のとき、$5y+z=12$を満たすのは、$y=0, z=12$、$y=1, z=7$、$y=2, z=2$。$z>8$なので$y=1, z=7$、$y=2, z=2$。

$x=3$のとき、$5y+z=2$を満たすのは、$y=0, z=2$。

よって、(0,5,7), (1,3,7), (1,4,2), (2,1,7), (2,2,2), (3,0,2)の6通り。

(4) お金の支払い方全体の数

5円玉を0枚, 1枚, 2枚, 3枚, 4枚, 5枚使う場合の数をそれぞれ求め、合計すれば良い。

5円玉を0枚使う場合：$100x + 50y + 10z = 345$となる場合を考える。

$10x+5y+z=34.5$。これは整数でないので、不可能。

5円玉を2枚使う場合：$100x + 50y + 10z = 335$となる場合を考える。

$10x+5y+z=33.5$。これも整数でないので、不可能。

5円玉を4枚使う場合：$100x + 50y + 10z = 325$となる場合を考える。

$10x+5y+z=32.5$。これも整数でないので、不可能。

したがって、5円玉は1, 3, 5枚のいずれかを使用する場合のみを考えればよい。

(1) + (2) + (3) = 3 + 6 + 6 = 15通り。

3. 最終的な答え

(1) 3通り

(2) 6通り

(3) 6通り

(4) 15通り