与えられた重積分の問題を解きます。ここでは問題 (1) から (6) があります。以下に、それぞれ問題を提示し、解き方を示します。

1. 問題の内容

与えられた重積分の問題を解きます。ここでは問題 (1) から (6) があります。以下に、それぞれ問題を提示し、解き方を示します。

2. 解き方の手順

(1) $\iint_D \sin(2x+y) \,dxdy$, $D: 0 \le x \le \frac{\pi}{2}, 0 \le y \le \frac{\pi}{2}$

まず、$x$ について積分します。

$\int_0^{\pi/2} \sin(2x+y) \,dx = \left[ -\frac{1}{2}\cos(2x+y) \right]_0^{\pi/2} = -\frac{1}{2}\cos(\pi+y) + \frac{1}{2}\cos(y) = \frac{1}{2}\cos(y) + \frac{1}{2}\cos(y) = \cos(y)$.

次に、$y$ について積分します。

$\int_0^{\pi/2} \cos(y) \,dy = \left[ \sin(y) \right]_0^{\pi/2} = \sin(\pi/2) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.

(2) $\iint_D (x^2y + y^2) \,dxdy$, $D: 1 \le x \le 2, 2 \le y \le 3$

まず、$x$ について積分します。

$\int_1^2 (x^2y + y^2) \,dx = \left[ \frac{1}{3}x^3y + y^2x \right]_1^2 = \left( \frac{8}{3}y + 2y^2 \right) - \left( \frac{1}{3}y + y^2 \right) = \frac{7}{3}y + y^2$.

次に、$y$ について積分します。

$\int_2^3 \left( \frac{7}{3}y + y^2 \right) \,dy = \left[ \frac{7}{6}y^2 + \frac{1}{3}y^3 \right]_2^3 = \left( \frac{7}{6}(9) + \frac{1}{3}(27) \right) - \left( \frac{7}{6}(4) + \frac{1}{3}(8) \right) = \left( \frac{63}{6} + 9 \right) - \left( \frac{28}{6} + \frac{8}{3} \right) = \frac{63}{6} + \frac{54}{6} - \frac{28}{6} - \frac{16}{6} = \frac{73}{6}$.

(3) $\iint_D x \,dxdy$, $D: x^2 + y^2 \le 1, x \ge 0$

極座標変換を行います。$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $dxdy = r dr d\theta$。

$x^2 + y^2 \le 1$ より $r \le 1$、$x \ge 0$ より $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$。

$\iint_D x \,dxdy = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^1 r\cos\theta \cdot r \,dr d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos\theta \,d\theta \int_0^1 r^2 \,dr = [\sin\theta]_{-\pi/2}^{\pi/2} \left[ \frac{1}{3}r^3 \right]_0^1 = (1 - (-1)) \cdot \frac{1}{3} = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

(4) $\iint_D \sqrt{a^2-y^2} \,dxdy$, $D: x^2 + y^2 \le a^2$

$D$ は円 $x^2+y^2 = a^2$ の内部を表す。積分領域は全円のため、まずは$x$で積分します。

$x^2+y^2 \le a^2$ より $-\sqrt{a^2-y^2} \le x \le \sqrt{a^2-y^2}$となります。

$\int_{-\sqrt{a^2-y^2}}^{\sqrt{a^2-y^2}} \sqrt{a^2-y^2} \,dx = 2(a^2 - y^2)$.

次に、$y$ について積分します。$-a \le y \le a$となります。

$\int_{-a}^{a} 2(a^2 - y^2) \,dy = 2 \left[ a^2y - \frac{y^3}{3} \right]_{-a}^a = 2\left[ a^3 - \frac{a^3}{3} - (-a^3 + \frac{a^3}{3}) \right] = 2\left[ 2a^3 - \frac{2a^3}{3} \right] = 2 \cdot \frac{4a^3}{3} = \frac{8a^3}{3}$.

(5) $\iint_D xy^2 \,dxdy$, $D: 0 \le y \le x \le 1$

まず、$y$ について積分します。

$\int_0^x xy^2 \,dy = \left[ \frac{1}{3}xy^3 \right]_0^x = \frac{1}{3}x^4$.

次に、$x$ について積分します。

$\int_0^1 \frac{1}{3}x^4 \,dx = \left[ \frac{1}{15}x^5 \right]_0^1 = \frac{1}{15}$.

(6) $\iint_D (2x-y) \,dxdy$, $D: x \le y \le 2x, x+y \le 3$

$x+y \le 3$と、$y \le 2x$より、$x+2x=3x \le 3 \implies x \le 1$。また、$x \le y$と、$x+y \le 3$より、$x+x=2x \le x+y \le 3 \implies x \le \frac{3}{2}$。

$x \le y \le 2x$、 $y \le 3-x$ の共通範囲を考えます。

$\int (2x-y)dy=2xy-\frac{y^2}{2}$ より$\int_x^{\min(2x,3-x)}(2x-y)dy= 2x\min(2x,3-x) - \frac{\min(2x,3-x)^2}{2} -(2x^2-\frac{x^2}{2})$.

ここで、$x \le 3-x \implies x \le 1.5$ と $2x \le 3-x \implies x \le 1$ より、$x \le 1$のとき$2x<3-x$、$1<x \le \frac{3}{2}$のとき$3-x<2x$。

$\int_0^1 \int_x^{2x} (2x-y) dy dx + \int_1^{3/2} \int_x^{3-x} (2x-y) dy dx$を計算します。

$\int_x^{2x} (2x-y) dy = 2x^2 - 2x^2 - (2x^2 - \frac{x^2}{2})= \frac{4x^2-4x^2+x^2}{2}=\frac{x^2}{2}$。

$\int_x^{3-x} (2x-y) dy = [2xy - \frac{y^2}{2}]_x^{3-x} = 2x(3-x) - \frac{(3-x)^2}{2} - 2x^2 + \frac{x^2}{2} = 6x - 2x^2 - \frac{9 - 6x + x^2}{2} - \frac{3x^2}{2} = 6x - 2x^2 - \frac{9}{2} + 3x - \frac{x^2}{2} - \frac{3x^2}{2} = 9x - 4x^2 - \frac{9}{2}$。

$\int_0^1 \frac{x^2}{2} dx = [\frac{x^3}{6}]_0^1 = \frac{1}{6}$.

$\int_1^{3/2} (9x - 4x^2 - \frac{9}{2}) dx = [\frac{9x^2}{2} - \frac{4x^3}{3} - \frac{9}{2}x]_1^{3/2} = \frac{9}{2}(\frac{9}{4} - 1) - \frac{4}{3}(\frac{27}{8} - 1) - \frac{9}{2}(\frac{3}{2} - 1) = \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{4} - \frac{4}{3} \cdot \frac{19}{8} - \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{45}{8} - \frac{19}{6} - \frac{9}{4} = \frac{135 - 76 - 54}{24} = \frac{5}{24}$.

$\frac{1}{6} + \frac{5}{24} = \frac{4+5}{24} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$.

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 73/6

(3) 2/3

(4) 8a^3/3

(5) 1/15

(6) 3/8