以下の6つの関数を微分します。 (1) $y = \frac{1}{(3x-2)^2}$ (2) $y = \frac{1}{(x^2+2x+3)^4}$ (3) $y = \sqrt{x^2+4x+1}$ (4) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ (5) $y = \sqrt[3]{(2x-3)^2}$ (6) $y = \frac{4}{\sqrt[4]{4-x^2}}$

はい、承知いたしました。与えられた関数の微分を計算します。

1. 問題の内容

以下の6つの関数を微分します。

(1) $y = \frac{1}{(3x-2)^2}$

(2) $y = \frac{1}{(x^2+2x+3)^4}$

(3) $y = \sqrt{x^2+4x+1}$

(4) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

(5) $y = \sqrt[3]{(2x-3)^2}$

(6) $y = \frac{4}{\sqrt[4]{4-x^2}}$

2. 解き方の手順

各関数について、微分を計算します。

(1) $y = \frac{1}{(3x-2)^2} = (3x-2)^{-2}$

合成関数の微分を用いて、

$\frac{dy}{dx} = -2(3x-2)^{-3} \cdot 3 = -6(3x-2)^{-3} = \frac{-6}{(3x-2)^3}$

(2) $y = \frac{1}{(x^2+2x+3)^4} = (x^2+2x+3)^{-4}$

合成関数の微分を用いて、

$\frac{dy}{dx} = -4(x^2+2x+3)^{-5} \cdot (2x+2) = -8(x+1)(x^2+2x+3)^{-5} = \frac{-8(x+1)}{(x^2+2x+3)^5}$

(3) $y = \sqrt{x^2+4x+1} = (x^2+4x+1)^{1/2}$

合成関数の微分を用いて、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(x^2+4x+1)^{-1/2} \cdot (2x+4) = \frac{x+2}{\sqrt{x^2+4x+1}}$

(4) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} = (x^2+1)^{-1/2}$

合成関数の微分を用いて、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}(x^2+1)^{-3/2} \cdot (2x) = \frac{-x}{(x^2+1)^{3/2}} = \frac{-x}{\sqrt{(x^2+1)^3}}$

(5) $y = \sqrt[3]{(2x-3)^2} = (2x-3)^{2/3}$

合成関数の微分を用いて、

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{3}(2x-3)^{-1/3} \cdot 2 = \frac{4}{3}(2x-3)^{-1/3} = \frac{4}{3\sqrt[3]{2x-3}}$

(6) $y = \frac{4}{\sqrt[4]{4-x^2}} = 4(4-x^2)^{-1/4}$

合成関数の微分を用いて、

$\frac{dy}{dx} = 4 \cdot (-\frac{1}{4})(4-x^2)^{-5/4} \cdot (-2x) = 2x(4-x^2)^{-5/4} = \frac{2x}{\sqrt[4]{(4-x^2)^5}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{-6}{(3x-2)^3}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{-8(x+1)}{(x^2+2x+3)^5}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{x+2}{\sqrt{x^2+4x+1}}$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{\sqrt{(x^2+1)^3}}$

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{4}{3\sqrt[3]{2x-3}}$

(6) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{\sqrt[4]{(4-x^2)^5}}$