$x$ が十分大きいとき、$\sqrt{x}$も大きくなるので、$\log(1+\sqrt{x}) \approx \log(\sqrt{x}) = \frac{1}{2} \log(x)$ と近似できます。 したがって、被積分関数は以下のように近似できます。 $\frac{\log(1+\sqrt{x})}{1+x^2} \approx \frac{\frac{1}{2}\log(x)}{1+x^2} \approx \frac{\frac{1}{2}\log(x)}{x^2} = \frac{\log(x)}{2x^2}$

## 問題の内容

次の広義積分が収束することを示します。

(1) $\int_{0}^{\infty} \frac{\log(1+\sqrt{x})}{1+x^2} dx$

## 解き方の手順

広義積分の収束を示すためには、被積分関数がある程度以上の速さで0に近づく必要があります。積分区間は$[0, \infty)$なので、$\infty$での振る舞いを調べます。

1. **$x$ が大きい時 ($\infty$ 近傍) の被積分関数の評価:**

$x$ が十分大きいとき、$\sqrt{x}$も大きくなるので、$\log(1+\sqrt{x}) \approx \log(\sqrt{x}) = \frac{1}{2} \log(x)$ と近似できます。

したがって、被積分関数は以下のように近似できます。

$\frac{\log(1+\sqrt{x})}{1+x^2} \approx \frac{\frac{1}{2}\log(x)}{1+x^2} \approx \frac{\frac{1}{2}\log(x)}{x^2} = \frac{\log(x)}{2x^2}$

2. **比較積分:**

$\int_{1}^{\infty} \frac{\log(x)}{2x^2}dx$ が収束することを示せば良いです。

より一般に、$p>1$ の時 $\int_{1}^{\infty} \frac{\log(x)}{x^p}dx$が収束することを示します。

これは、部分積分を使うことによって確認できます。

$\int_{1}^{\infty} \frac{\log(x)}{x^p}dx = \left[-\frac{1}{p-1} \frac{\log(x)}{x^{p-1}}\right]_1^\infty + \int_1^\infty \frac{1}{p-1} \frac{1}{x^p}dx$

ここで、$p>1$なので、$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^{p-1}} = 0$です。

したがって、

$\int_{1}^{\infty} \frac{\log(x)}{x^p}dx = 0 + \frac{1}{p-1} \int_1^\infty \frac{1}{x^p}dx = \frac{1}{p-1} \left[ -\frac{1}{p-1} \frac{1}{x^{p-1}} \right]_1^\infty= \frac{1}{(p-1)^2}<\infty$.

$p=2$のときも同様に収束します。

つまり、積分 $\int_{1}^{\infty} \frac{\log(x)}{2x^2} dx$ は収束します。

3. **$x=0$ 近傍の評価:**

$x \to 0$のとき、$\log(1+\sqrt{x}) \to \log(1+0) = 0$なので、特異点はありません。

よって、$\int_{0}^{1} \frac{\log(1+\sqrt{x})}{1+x^2} dx$ は収束します。

4. **結論:**

$\int_{0}^{1} \frac{\log(1+\sqrt{x})}{1+x^2} dx$ と $\int_{1}^{\infty} \frac{\log(1+\sqrt{x})}{1+x^2} dx$ がそれぞれ収束するので、

$\int_{0}^{\infty} \frac{\log(1+\sqrt{x})}{1+x^2} dx$ も収束します。

## 最終的な答え

$\int_{0}^{\infty} \frac{\log(1+\sqrt{x})}{1+x^2} dx$ は収束する。