$x = r\cos\theta$, $y = \frac{1}{\sqrt{2}}r\sin\theta$ と変数変換します。このときヤコビアンは $J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta & \frac{1}{\sqrt{2}}r\cos\theta \end{vmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}r\cos^2\theta + \frac{1}{\sqrt{2}}r\sin^2\theta = \frac{r}{\sqrt{2}}$ となります。 また、積分領域は $r^2 \leq 1$ より、$0 \leq r \leq 1$、$0 \leq \theta \leq 2\pi$ となります。

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1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

**問題4:** $xy$ 平面上の領域 $D$ を $x^2 + 2y^2 \leq 1$ とするとき、重積分 $\iint_D (x^2 + y) \, dxdy$ を計算してください。

**問題5:** 以下の微分方程式の一般解を求めてください。ここで、$y$ は $x$ の関数、$k$ は定数とします。

(1) $y' + y = k$

(2) $y'' - 3y' + 2y = 0$

(3) $y'' - 6y' + 9y = e^x$

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2. 解き方の手順

### 問題4: 重積分の計算

1. **変数変換:**

$x = r\cos\theta$, $y = \frac{1}{\sqrt{2}}r\sin\theta$ と変数変換します。このときヤコビアンは

$J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta & \frac{1}{\sqrt{2}}r\cos\theta \end{vmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}r\cos^2\theta + \frac{1}{\sqrt{2}}r\sin^2\theta = \frac{r}{\sqrt{2}}$

となります。

また、積分領域は $r^2 \leq 1$ より、$0 \leq r \leq 1$、$0 \leq \theta \leq 2\pi$ となります。

2. **重積分の変換:**

与えられた重積分は次のように変換されます。

$\iint_D (x^2 + y) \, dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (r^2\cos^2\theta + \frac{1}{\sqrt{2}}r\sin\theta) \frac{r}{\sqrt{2}} \, dr d\theta = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^{2\pi} \int_0^1 (r^3\cos^2\theta + \frac{1}{\sqrt{2}}r^2\sin\theta) \, dr d\theta$

3. **積分の計算:**

$\int_0^{2\pi} \int_0^1 r^3\cos^2\theta \, dr d\theta = \int_0^1 r^3 dr \int_0^{2\pi} \cos^2\theta d\theta = \frac{1}{4} \int_0^{2\pi} \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} d\theta = \frac{1}{4} [\frac{\theta}{2} + \frac{\sin(2\theta)}{4}]_0^{2\pi} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$

$\int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2\sin\theta \, dr d\theta = \int_0^1 r^2 dr \int_0^{2\pi} \sin\theta d\theta = \frac{1}{3} [-\cos\theta]_0^{2\pi} = \frac{1}{3} (-1 + 1) = 0$

4. **最終的な積分値:**

$\iint_D (x^2 + y) \, dxdy = \frac{1}{\sqrt{2}} (\frac{\pi}{4} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot 0) = \frac{\pi}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}\pi}{8}$

### 問題5: 微分方程式の解法

(1) $y' + y = k$ (1階線形微分方程式)

1. **同次方程式の解:** $y' + y = 0$ の解は $y_h = C e^{-x}$ ($C$ は任意定数)

2. **特解:** $y_p = A$ (定数) と仮定すると、$y_p' = 0$。よって、$0 + A = k$ より $A = k$。

3. **一般解:** $y = y_h + y_p = Ce^{-x} + k$

(2) $y'' - 3y' + 2y = 0$ (2階線形同次微分方程式)

1. **特性方程式:** $\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0$

2. **特性根:** $(\lambda - 1)(\lambda - 2) = 0$ より $\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2$

3. **一般解:** $y = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$ ($C_1, C_2$ は任意定数)

(3) $y'' - 6y' + 9y = e^x$ (2階線形非同次微分方程式)

1. **同次方程式の解:** $y'' - 6y' + 9y = 0$ の特性方程式は $\lambda^2 - 6\lambda + 9 = 0$、 $(\lambda - 3)^2 = 0$ より $\lambda = 3$ (重根)。よって、$y_h = (C_1 + C_2 x)e^{3x}$ ($C_1, C_2$ は任意定数)

2. **特解:** $y_p = A e^x$ と仮定すると、$y_p' = A e^x$, $y_p'' = A e^x$。

3. **特解の代入:** $Ae^x - 6Ae^x + 9Ae^x = e^x$ より $4Ae^x = e^x$。したがって、$A = \frac{1}{4}$。

4. **一般解:** $y = y_h + y_p = (C_1 + C_2 x)e^{3x} + \frac{1}{4} e^x$

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3. 最終的な答え

**問題4:**

$\frac{\sqrt{2}\pi}{8}$

**問題5:**

(1) $y = Ce^{-x} + k$

(2) $y = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$

(3) $y = (C_1 + C_2 x)e^{3x} + \frac{1}{4} e^x$