関数 $f(x) = x^2$ の区間 $a-1 \le x \le a+1$ における最小値を $m(a)$ とする。$a$ の値によって $m(a)$ がどのように変化するかを求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2$ の区間 $a-1 \le x \le a+1$ における最小値を $m(a)$ とする。$a$ の値によって $m(a)$ がどのように変化するかを求めよ。

2. 解き方の手順

関数 $f(x) = x^2$ は下に凸な放物線であり、頂点は原点 $(0, 0)$ である。軸は $x=0$ である。区間 $a-1 \le x \le a+1$ における最小値を求める。場合分けは軸 $x=0$ が区間 $a-1 \le x \le a+1$ に含まれるかどうかで行う。

(i) $a+1 < 0$ つまり $a < -1$ のとき

区間 $a-1 \le x \le a+1$ は負の領域にあり、最小値は $x=a+1$ のとき。

$m(a) = f(a+1) = (a+1)^2 = a^2 + 2a + 1$

(ii) $a-1 > 0$ つまり $a > 1$ のとき

区間 $a-1 \le x \le a+1$ は正の領域にあり、最小値は $x=a-1$ のとき。

$m(a) = f(a-1) = (a-1)^2 = a^2 - 2a + 1$

(iii) $a-1 \le 0 \le a+1$ つまり $-1 \le a \le 1$ のとき

区間 $a-1 \le x \le a+1$ は軸 $x=0$ を含むので、最小値は $x=0$ のとき。

$m(a) = f(0) = 0^2 = 0$

以上の結果をまとめる。

(i) $a < -1$ のとき、$m(a) = a^2 + 2a + 1$

(ii) $-1 \le a \le 1$ のとき、$m(a) = 0$

(iii) $a > 1$ のとき、$m(a) = a^2 - 2a + 1$

3. 最終的な答え

ア: (0,0)

イ: 0

ウ: -1

エ: 1

オ: 2

カ: 1

キ: 1

ク: 0

ケ: 0

コ: 0

サ: 1

シ: -2

ス: 1