関数 $y = xe^{-\frac{x^2}{2}}$ の増減を調べ、グラフの概形を描く。

1. 問題の内容

関数 $y = xe^{-\frac{x^2}{2}}$ の増減を調べ、グラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

ステップ1: 導関数を求める。

積の微分法と合成関数の微分法を用いる。

$y' = (x)'e^{-\frac{x^2}{2}} + x(e^{-\frac{x^2}{2}})'$

$y' = e^{-\frac{x^2}{2}} + x e^{-\frac{x^2}{2}} (-\frac{x^2}{2})'$

$y' = e^{-\frac{x^2}{2}} + x e^{-\frac{x^2}{2}} (-x)$

$y' = e^{-\frac{x^2}{2}} - x^2 e^{-\frac{x^2}{2}}$

$y' = (1 - x^2)e^{-\frac{x^2}{2}}$

ステップ2: $y' = 0$ となる $x$ を求める。

$(1 - x^2)e^{-\frac{x^2}{2}} = 0$

$e^{-\frac{x^2}{2}} > 0$ であるから、$1 - x^2 = 0$ を解く。

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

ステップ3: 増減表を作成する。

| x | ... | -1 | ... | 1 | ... |

|---|------|----|-----|----|-----|

| y' | - | 0 | + | 0 | - |

| y | 減少 | 極小 | 増加 | 極大 | 減少 |

$x = -1$ のとき $y = -e^{-\frac{1}{2}}$ （極小値）

$x = 1$ のとき $y = e^{-\frac{1}{2}}$ （極大値）

ステップ4: グラフの概形を描く。

x → ∞ のとき、y → 0

x → -∞ のとき、y → 0

原点に関して奇関数（対称）である。

3. 最終的な答え

増減表：

| x | ... | -1 | ... | 1 | ... |

|---|------|----|-----|----|-----|

| y' | - | 0 | + | 0 | - |

| y | 減少 | 極小 | 増加 | 極大 | 減少 |

極小値：$(-1, -e^{-\frac{1}{2}})$

極大値：$(1, e^{-\frac{1}{2}})$

グラフの概形は、極大値、極小値を持ち、x → ±∞ で y → 0となるような曲線。