関数 $y = \sin{2x} + \sqrt{2}\cos{(x-\frac{\pi}{4})}$ について、以下の問いに答えます。 (1) $\sin{x} + \cos{x} = t$ とおいて、$y$ を $t$ で表します。 (2) $0 \leq x < 2\pi$ のとき、$y$ の最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin{2x} + \sqrt{2}\cos{(x-\frac{\pi}{4})}$ について、以下の問いに答えます。

(1) $\sin{x} + \cos{x} = t$ とおいて、$y$ を $t$ で表します。

(2) $0 \leq x < 2\pi$ のとき、$y$ の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\sin{x} + \cos{x} = t$ のとき、両辺を2乗すると、

$t^2 = (\sin{x} + \cos{x})^2 = \sin^2{x} + 2\sin{x}\cos{x} + \cos^2{x} = 1 + 2\sin{x}\cos{x}$

したがって、$\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x} = t^2 - 1$ となります。

また、$\cos{(x - \frac{\pi}{4})} = \cos{x}\cos{\frac{\pi}{4}} + \sin{x}\sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\cos{x} + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin{x} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\sin{x} + \cos{x}) = \frac{t}{\sqrt{2}}$

よって、$y = \sin{2x} + \sqrt{2}\cos{(x-\frac{\pi}{4})} = t^2 - 1 + \sqrt{2} \cdot \frac{t}{\sqrt{2}} = t^2 + t - 1$

(2) $t = \sin{x} + \cos{x} = \sqrt{2}\sin{(x + \frac{\pi}{4})}$

$0 \leq x < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{4} \leq x + \frac{\pi}{4} < \frac{9\pi}{4}$

したがって、$-1 \leq \sin{(x + \frac{\pi}{4})} \leq 1$ であるから、$-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$

$y = t^2 + t - 1 = (t + \frac{1}{2})^2 - \frac{5}{4}$

$-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$ において、

$t = \sqrt{2}$ のとき、$y = (\sqrt{2})^2 + \sqrt{2} - 1 = 1 + \sqrt{2}$ (最大値)

$t = -\frac{1}{2}$ のとき、$y = (-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 1 = -\frac{5}{4}$ (最小値)

3. 最終的な答え

(1) $y = t^2 + t - 1$

(2) 最大値 $1+\sqrt{2}$、最小値 $-\frac{5}{4}$