$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ という関係を用いて、$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$ を求める。

1. 問題の内容

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ という関係を用いて、$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$ を求める。

2. 解き方の手順

問題文で与えられた関係式 $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ を利用して、$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$ を計算する。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)$

この和は、以下のように書き下せる。

$(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$

これは望遠鏡のように次々と打ち消しあう和である。$-\frac{1}{2}$ は $\frac{1}{2}$ と打ち消し合い、$-\frac{1}{3}$ は $\frac{1}{3}$ と打ち消し合う。このパターンが続き、$- \frac{1}{n}$ は $\frac{1}{n}$ と打ち消し合う。結果として、最初の項 $\frac{1}{1}$ と最後の項 $-\frac{1}{n+1}$ だけが残る。

よって、

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1}{n+1} - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{n}{n+1}$