関数 $f(x) = -x^2 + 2x + 2$ の $a \le x \le a+1$ における最大値を $M(a)$ とする。$M(a)$を$a$の範囲によって場合分けして求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x^2 + 2x + 2$ の $a \le x \le a+1$ における最大値を $M(a)$ とする。$M(a)$を$a$の範囲によって場合分けして求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$を平方完成する。

$f(x) = -(x^2 - 2x) + 2 = -(x^2 - 2x + 1) + 1 + 2 = -(x-1)^2 + 3$

したがって、$f(x)$のグラフは頂点が$(1, 3)$で、軸が直線$x = 1$の上向きの放物線である。

$a \le x \le a+1$の範囲において、$f(x)$の最大値$M(a)$を考える。

(i) $a+1 < 1$ すなわち $a < 0$のとき

$a \le x \le a+1$において、$f(x)$は単調増加であるから、$x = a+1$で最大値をとる。

$M(a) = f(a+1) = -(a+1)^2 + 2(a+1) + 2 = -(a^2 + 2a + 1) + 2a + 2 + 2 = -a^2 - 2a - 1 + 2a + 4 = -a^2 + 3$

(ii) $a \le 1 \le a+1$ すなわち $0 \le a \le 1$のとき

$a \le x \le a+1$において、$f(x)$は$x = 1$で最大値をとる。

$M(a) = f(1) = -1^2 + 2(1) + 2 = -1 + 2 + 2 = 3$

(iii) $a > 1$のとき

$a \le x \le a+1$において、$f(x)$は単調減少であるから、$x = a$で最大値をとる。

$M(a) = f(a) = -a^2 + 2a + 2$

3. 最終的な答え

(i) $a < 0$ のとき、 $M(a) = -a^2 + 3$

(ii) $0 \le a \le 1$ のとき、$M(a) = 3$

(iii) $a > 1$ のとき、$M(a) = -a^2 + 2a + 2$