PからQまで最短経路で進むとき、以下の確率を求める問題です。 (1) 最短経路の選び方が同様に確からしいとして、Rを通る確率。 (2) 各交差点で上または右に進む確率がそれぞれ1/2として、Rを通る確率。

1. 問題の内容

PからQまで最短経路で進むとき、以下の確率を求める問題です。

(1) 最短経路の選び方が同様に確からしいとして、Rを通る確率。

(2) 各交差点で上または右に進む確率がそれぞれ1/2として、Rを通る確率。

2. 解き方の手順

(1)

PからQまでの最短経路は、右に2回、上に1回進む経路です。したがって、PからQまでの最短経路の総数は、3つの移動のうち、上の移動をどこに入れるかを考えることで、$_{3}C_{1} = 3$ 通りです。

PからRまでの最短経路は、右に1回、上に1回進む経路なので、経路は2つです。RからQまでの最短経路は、右に1回進む経路なので、経路は1つです。したがって、PからRを通りQまで行く最短経路は $2 \times 1 = 2$ 通りです。

したがって、Rを通る確率は $\frac{2}{3}$ です。

(2)

PからRを通る確率は、PからRに行く確率を考えます。PからRに行くには、右または上に進む確率がそれぞれ $1/2$ なので、PからRに行く経路は2通りあります。

1. 右に進んでから上に進む。

2. 上に進んでから右に進む。

したがって、PからRに行く確率は $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ です。

RからQに行くには、右に1回進むしかないので、確率は1です。

したがって、PからRを通りQに行く確率は $\frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3}$

(2) $\frac{1}{2}$