9人の男子と8人の女子から7人を選ぶとき、以下の条件を満たす選び方はそれぞれ何通りあるか。 (1) 男子が4人、女子が3人選ばれる場合 (2) 女子がちょうど5人選ばれる場合

1. 問題の内容

9人の男子と8人の女子から7人を選ぶとき、以下の条件を満たす選び方はそれぞれ何通りあるか。

(1) 男子が4人、女子が3人選ばれる場合

(2) 女子がちょうど5人選ばれる場合

2. 解き方の手順

(1) 男子4人、女子3人選ぶ場合

9人の男子から4人を選ぶ組み合わせは ${}_9 C_4$ 通り。

8人の女子から3人を選ぶ組み合わせは ${}_8 C_3$ 通り。

よって、求める場合の数は、積の法則より ${}_9 C_4 \times {}_8 C_3$ 通り。

${}_9 C_4 = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9!}{4!5!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$

${}_8 C_3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

したがって、${}_9 C_4 \times {}_8 C_3 = 126 \times 56 = 7056$

(2) 女子がちょうど5人選ばれる場合

7人を選ぶので、女子が5人ならば男子は2人選ばれる必要がある。

8人の女子から5人を選ぶ組み合わせは ${}_8 C_5$ 通り。

9人の男子から2人を選ぶ組み合わせは ${}_9 C_2$ 通り。

よって、求める場合の数は、積の法則より ${}_8 C_5 \times {}_9 C_2$ 通り。

${}_8 C_5 = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

${}_9 C_2 = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2!7!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$

したがって、${}_8 C_5 \times {}_9 C_2 = 56 \times 36 = 2016$

3. 最終的な答え

(1) 7056通り

(2) 2016通り