男子6人、女子4人の中から4人の委員を選ぶ。以下の条件における選び方の数を求めよ。 (1) すべての選び方 (2) 男子の委員2人、女子の委員2人を選ぶ。 (3) 女子が少なくとも1人選ばれる。 (4) 特定の2人a, bがともに選ばれる。 (5) aは選ばれるが、bは選ばれない。

1. 問題の内容

男子6人、女子4人の中から4人の委員を選ぶ。以下の条件における選び方の数を求めよ。

(1) すべての選び方

(2) 男子の委員2人、女子の委員2人を選ぶ。

(3) 女子が少なくとも1人選ばれる。

(4) 特定の2人a, bがともに選ばれる。

(5) aは選ばれるが、bは選ばれない。

2. 解き方の手順

(1) すべての選び方

合計10人から4人を選ぶので、組み合わせの総数は $_{10}C_4$ で求められる。

$_{10}C_4 = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$ 通り

(2) 男子の委員2人、女子の委員2人を選ぶ。

男子6人から2人を選ぶ組み合わせは $_{6}C_2$。

女子4人から2人を選ぶ組み合わせは $_{4}C_2$。

よって、 $_{6}C_2 \times {}_{4}C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 15 \times 6 = 90$ 通り

(3) 女子が少なくとも1人選ばれる。

全体の選び方から、女子が1人も選ばれない場合（全員男子）の選び方を引く。

全員男子となるのは、男子6人から4人を選ぶ場合なので、$_{6}C_4 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 通り。

よって、 $210 - 15 = 195$ 通り

(4) 特定の2人a, bがともに選ばれる。

a, bが選ばれることが確定しているので、残りの2人を選ぶ。残りのメンバーは8人。

8人から2人を選ぶ組み合わせは $_{8}C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ 通り。

(5) aは選ばれるが、bは選ばれない。

まずaを選ぶ。残りの3人を選ぶ。

bは選ばれないので、残りのメンバーは、a以外の男子5人と女子3人(bを除く)の計8人。

この8人から3人を選ぶ組み合わせは $_{8}C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 210通り

(2) 90通り

(3) 195通り

(4) 28通り

(5) 56通り