箱の中に8枚のカード（1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5）が入っている。 ランダムに1枚のカードを取り出し、数字を見て箱に戻すという試行を3回繰り返す。 以下の確率を計算する。 (1) 取り出したカードの数字が3回とも2以上の確率 (2) 取り出したカードの数字の最小値が2の確率 (3) 取り出したカードの数字の最小値が2で最大値が4の確率 (4) 取り出したカードの数字の最小値が2のとき、最大値が4となる条件付き確率

1. 問題の内容

箱の中に8枚のカード（1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5）が入っている。

ランダムに1枚のカードを取り出し、数字を見て箱に戻すという試行を3回繰り返す。

以下の確率を計算する。

(1) 取り出したカードの数字が3回とも2以上の確率

(2) 取り出したカードの数字の最小値が2の確率

(3) 取り出したカードの数字の最小値が2で最大値が4の確率

(4) 取り出したカードの数字の最小値が2のとき、最大値が4となる条件付き確率

2. 解き方の手順

(1)

3回とも2以上の数字が出る確率は、2以上の数字（2, 2, 3, 3, 4, 5, 5）が7枚あるので、

$(7/8)^3 = 343/512$

(2)

3回とも1が出ない確率から求める。

3回とも1が出ない確率は、$(7/8)^3$。

３回とも2以上の数字が出る確率が $(7/8)^3 = 343/512$　であることを利用する。

取り出したカードの最小値が2であるということは、1は出ないが、2以上の数字は出るということである。

したがって、2のカードが少なくとも1回は出る確率を求める。

1が出ない確率は $(7/8)^3 = 343/512$

2以上の数字しか出ない確率 $(7/8)^3 = 343/512$

したがって、

$1-(1/8)^3 = 511/512$

最小値が2である確率は、

2が出る確率を求める。少なくとも1回は2が出て、かつ１は出ない確率を求める。

まず、1が出ない確率からすべて3以上の数字が出る確率を引く。

1が出ない確率は $(7/8)^3=343/512$

3以上の数字しか出ない確率、つまり2が出ない確率　$(5/8)^3=125/512$

よって最小値が２である確率は、 $343/512-125/512 = 218/512 = 109/256$

(3)

最小値が2で最大値が4ということは、2,3,4のいずれかの数字が出て、かつ2と4は少なくとも1回は出るということである。

全体から、2,3しか出ない場合、3,4しか出ない場合、3しか出ない場合を引く。

2,3,4のいずれかが出る確率 $(6/8)^3=27/64=216/512$

2,3しか出ない確率 $(4/8)^3=8/64 = 64/512$

3,4しか出ない確率 $(3/8)^3=27/512$

3しか出ない確率　$(1/4)^3 = 8/512$

216/512-64/512-27/512+8/512 = 133/512

(4)

条件付き確率を求める。

最小値が2のとき、最大値が4となる確率

P(最大値が4 | 最小値が2) = P(最小値が2 かつ 最大値が4) / P(最小値が2)

= (133/512) / (109/256) = (133/512) * (256/109) = 133/218

3. 最終的な答え

(1) 343/512

(2) 109/256

(3) 133/512

(4) 133/218