方程式 $3x^4 - 8x^3 - 6x^2 + 24x + a = 0$ が異なる3つの実数解をもつような $a$ の値をすべて求める問題です。

1. 問題の内容

方程式 $3x^4 - 8x^3 - 6x^2 + 24x + a = 0$ が異なる3つの実数解をもつような $a$ の値をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = 3x^4 - 8x^3 - 6x^2 + 24x + a$ とおきます。$f(x)=0$ が異なる3つの実数解を持つためには、$f(x)$ は極大値または極小値において $f(x)=0$ となる必要があります。つまり、$f(x)$ が重解を持つ必要があります。

$f'(x) = 12x^3 - 24x^2 - 12x + 24$

$f'(x) = 12(x^3 - 2x^2 - x + 2)$

$f'(x) = 12(x^2(x-2) - (x-2))$

$f'(x) = 12(x^2 - 1)(x-2)$

$f'(x) = 12(x-1)(x+1)(x-2)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = -1, 1, 2$ のときです。

$f(x)$ の増減表を作成します。

| x | ... | -1 | ... | 1 | ... | 2 | ... |

|---|-----|----|-----|---|-----|---|-----|

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↘ | 極小 | ↗ | 極大| ↘ | 極小 | ↗ |

$f(-1) = 3 + 8 - 6 - 24 + a = a - 19$

$f(1) = 3 - 8 - 6 + 24 + a = a + 13$

$f(2) = 3(16) - 8(8) - 6(4) + 24(2) + a = 48 - 64 - 24 + 48 + a = a + 8$

$f(x) = 0$ が異なる3つの実数解を持つためには、以下のいずれかが成り立つ必要があります。

(i) $f(-1) = 0$ かつ $f(1)$と$f(2)$は異符号。 $f(-1) = a - 19 = 0 \Rightarrow a = 19$

このとき、$f(1) = 19 + 13 = 32 > 0$、$f(2) = 19 + 8 = 27 > 0$ であるため、この条件は満たしません。

(ii) $f(1) = 0$ かつ $f(-1)$と$f(2)$は異符号。 $f(1) = a + 13 = 0 \Rightarrow a = -13$

このとき、$f(-1) = -13 - 19 = -32 < 0$、$f(2) = -13 + 8 = -5 < 0$ であるため、この条件は満たしません。

(iii) $f(2) = 0$ かつ $f(-1)$と$f(1)$は異符号。 $f(2) = a + 8 = 0 \Rightarrow a = -8$

このとき、$f(-1) = -8 - 19 = -27 < 0$、$f(1) = -8 + 13 = 5 > 0$ であるため、この条件を満たします。

したがって、$a = -8$ のとき、与えられた方程式は異なる3つの実数解を持つことになります。

3. 最終的な答え

$a = -8$